- Calcule o volume da um cilindro reto, gerado pela rotação de um retângulo de dimensões 3 cm e 5 cm em torno do maior lado.
Passo 1
O enunciado dá um retângulo com lados de comprimento
e
e pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar esse retângulo em torno do maior lado (ou seja, em torno do lado de comprimento
). Informações relevantes fornecidas:
- lados do retângulo:
e ; - eixo de rotação: o maior lado, de comprimento
; - pedido: volume do sólido gerado pela rotação.
Passo 2
Vamos entender qual sólido aparece ao girar o retângulo em torno do lado de
. Imagine o retângulo com um dos lados de comprimento
fixo como eixo. Ao girar, cada ponto do lado oposto descreve um círculo cujo raio é a distância desse ponto ao eixo. Como o lado perpendicular tem comprimento
, a distância máxima (e constante para toda a borda oposta) até o eixo é
. Portanto o sólido gerado é um cilindro reto com:
- raio
; - altura
.
Passo 3
Agora a fórmula para o volume de um cilindro reto. Um cilindro reto tem bases que são círculos congruentes e altura
. O volume é a área da base multiplicada pela altura, ou seja:
A área de um círculo de raio
é dada por
Portanto, para um cilindro:
Explicação curta do porquê: o cilindro pode ser visto como uma “pilha” de discos iguais (cada disco com área
), e empilhando
unidades de altura obtém-se volume igual à área do disco vezes a altura.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
e
:
Passo 5
Fazendo as contas:
logo
Não esqueça da unidade: volume em centímetros cúbicos.
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o número
está em
. Se quiser um valor aproximado, use
e obterá cerca de
, mas a forma exata
é a resposta bonita e correta.