1. Calcule o volume da um cilindro reto, gerado pela rotação de um retângulo de dimensões 3 cm e 5 cm em torno do maior lado.

Passo 1

O enunciado dá um retângulo com lados de comprimento 3\\ \text{cm} e 5\\ \text{cm} e pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar esse retângulo em torno do maior lado (ou seja, em torno do lado de comprimento 5\\ \text{cm}). Informações relevantes fornecidas:
  • lados do retângulo: 3\\ \text{cm} e 5\\ \text{cm};
  • eixo de rotação: o maior lado, de comprimento 5\\ \text{cm};
  • pedido: volume do sólido gerado pela rotação.

Passo 2

Vamos entender qual sólido aparece ao girar o retângulo em torno do lado de 5\\ \text{cm}. Imagine o retângulo com um dos lados de comprimento 5\\ \text{cm} fixo como eixo. Ao girar, cada ponto do lado oposto descreve um círculo cujo raio é a distância desse ponto ao eixo. Como o lado perpendicular tem comprimento 3\\ \text{cm}, a distância máxima (e constante para toda a borda oposta) até o eixo é 3\\ \text{cm}. Portanto o sólido gerado é um cilindro reto com:
  • raio r = 3\\ \text{cm};
  • altura h = 5\\ \text{cm}.

Passo 3

Agora a fórmula para o volume de um cilindro reto. Um cilindro reto tem bases que são círculos congruentes e altura h. O volume é a área da base multiplicada pela altura, ou seja:
V = (\text{área da base}) \times h.á
A área de um círculo de raio r é dada por
\text{área} = \pi r^{2}.á
Portanto, para um cilindro:
V = \pi r^{2} h.
Explicação curta do porquê: o cilindro pode ser visto como uma “pilha” de discos iguais (cada disco com área \pi r^{2}), e empilhando h unidades de altura obtém-se volume igual à área do disco vezes a altura.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com r=3 e h=5:
V = \pi \cdot 3^{2} \cdot 5.

Passo 5

Fazendo as contas:
3^{2}=9,\qquad 9\cdot 5=45,
logo
V = 45\pi.
Não esqueça da unidade: volume em centímetros cúbicos.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o número 45\pi está em \text{cm}^{3}. Se quiser um valor aproximado, use \pi\approx 3{,}14159 e obterá cerca de 141{,}37\\ \text{cm}^{3}, mas a forma exata 45\pi\\ \text{cm}^{3} é a resposta bonita e correta.

Resposta

45\pi\\ \text{cm}^{3}

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