Área limitada pelas retas e parábola Encontre a área da região “triangular” no plano
que é delimitada à direita pela parábola
, à esquerda pela reta
e acima pela reta
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região do plano limitada à direita pela parábola
, à esquerda pela reta
e acima pela reta
. Para encontrar essa área, vamos usar integração por fatias horizontais (cilindros elementares em
), pois para cada valor de
entre os extremos a região está entre duas funções
e
.
Passo 2
Encontrar as interseções das fronteiras para delimitar o intervalo de
:
— Interseção parábola/reta: resolvemos
— Interseção parábola/reta: resolvemos
Para
temos
; para
temos
.
— Interseção reta horizontal com a parábola:
.
— Interseção reta horizontal
Logo, a região existe para
variando de
até
.
Passo 3
Expressar as fronteiras em função de
:
— Lado esquerdo (reta ):
— Lado esquerdo (reta
— Lado direito (porção superior da parábola
, escolha do ramo positivo):
Passo 4
Montar a integral da área por fatias horizontais: para cada
, a largura da fatia é
Portanto,
Passo 5
Calcular a integral em partes:
Somando,