Área limitada pelas retas e parábola Encontre a área da região “triangular” no plano x y que é delimitada à direita pela parábola y=x^{2}, à esquerda pela reta x+y=2 e acima pela reta y=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada à direita pela parábola y=x^{2}, à esquerda pela reta x+y=2 e acima pela reta y=4. Para encontrar essa área, vamos usar integração por fatias horizontais (cilindros elementares em y), pois para cada valor de y entre os extremos a região está entre duas funções x=x_{\rm esquerda}(y) e x=x_{\rm direita}(y).

Passo 2

Encontrar as interseções das fronteiras para delimitar o intervalo de y:
— Interseção parábola/reta: resolvemos
y = x^{2},\quad y = 2 - x
x^{2} = 2 - x \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1\text{ ou }x = -2.
Para x=1 temos y=1; para x=-2 temos y=4.
— Interseção reta horizontal y=4 com a parábola: 4 = x^{2} \Rightarrow x=\pm2.
Logo, a região existe para y variando de y_{\min}=1 até y_{\max}=4.

Passo 3

Expressar as fronteiras em função de y:
— Lado esquerdo (reta x+y=2):
x_{\rm esquerda}(y) = 2 - y.
— Lado direito (porção superior da parábola y=x^{2}, escolha do ramo positivo):
x_{\rm direita}(y) = \sqrt{y}.

Passo 4

Montar a integral da área por fatias horizontais: para cada y\in[1,4], a largura da fatia é
x_{\rm direita}(y) - x_{\rm esquerda}(y) = \sqrt{y} - (2 - y) = \sqrt{y} + y - 2.
Portanto,
A = \int_{y=1}^{4} \bigl[x_{\rm direita}(y) - x_{\rm esquerda}(y)\bigr]\,dy = \int_{1}^{4} \bigl(\sqrt{y} + y - 2\bigr)\,dy.

Passo 5

Calcular a integral em partes:
\int_{1}^{4}\sqrt{y}\,dy = \int_{1}^{4}y^{1/2}\,dy = \left[\tfrac{2}{3}y^{3/2}\right]_{1}^{4} = \tfrac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-1^{3/2}\bigr) = \tfrac{2}{3}(8-1) = \tfrac{14}{3},
\int_{1}^{4}y\,dy = \left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{4} = \tfrac{16}{2}-\tfrac{1}{2} = \tfrac{15}{2},
\int_{1}^{4}(-2)\,dy = -2\,(4-1) = -6.
Somando,
A = \tfrac{14}{3} + \tfrac{15}{2} - 6 = \frac{28 + 45 - 36}{6} = \frac{37}{6}.

Resposta

A = \frac{37}{6}.

Exercícios relacionados