Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
f^{\prime}(x)>0 se |x|<2, f^{\prime}(x)<0 se |x|>2, f^{\prime}(-2)=0, \lim _{x \rightarrow 2} f(x)=\infty, f^{\prime \prime}(x)>0 se x \neq 2.

Passo 1

Resumindo o que cada condição nos diz sobre a forma do gráfico:
\,f''(x)>0 para x\neq2 ⇒ a curva é convexa em todo lugar (exceto em x=2, onde pode haver assimptota).
f'(x)<0 para |x|>2 ⇒ a função decresce sempre que x<-2 e também sempre que x>2.
f'(x)>0 para |x|<2 ⇒ a função cresce em toda a região -2<x<2.
f'(-2)=0 ⇒ há um ponto crítico em x=-2.
\lim_{x\to2}f(x)=\infty ⇒ há uma assimptota vertical em x=2, com o valor da função tendendo a +\infty ao se aproximar de ambos os lados (pela convexidade).

Passo 2

Com f'(x)<0 e f''(x)>0 em x<-2, o gráfico para x<-2 é uma curva convexa decrescente que se aproxima de um ponto de mínimo em x=-2.
Em x=-2, como f'(-2)=0 e a curva é convexa f''(-2)>0, esse ponto é um mínimo local (na verdade global, pois à esquerda e à direita a função sobe ou desce de modo compatível).

Passo 3

Para -2<x<2, temos f'(x)>0 e f''(x)>0, então a curva sobe de modo cada vez mais íngreme (crescimento convexo) ao se aproximar de x=2.
Em x=2, a função não está definida e a condição \lim_{x\to2}f(x)=\infty indica uma assimptota vertical. Pela convexidade e pelo crescimento que vinha em -2<x<2, o valor de f tende a +\infty vindo tanto da esquerda quanto da direita.

Passo 4

Para x>2, f'(x)<0 e f''(x)>0 fazem a curva descer de forma convexa a partir de +\infty, ficando cada vez “menos inclinada” à medida que x cresce.

Resposta

O esboço qualitativo é o seguinte:
  • Eixo vertical em x=2 marcado como assimptota (linha tracejada).
  • Para x<-2: curva convexa decrescente rumo a (-2,f(-2)).
  • Em (-2,f(-2)): mínimo, tangente horizontal.
  • Para -2<x<2: curva convexa crescente que dispara verticalmente em x=2.
  • Para x>2: curva parte de +\infty e desce convexa, ficando cada vez mais plana conforme x\to+\infty.

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