Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
f^{\prime}(x)>0 se |x|<2, f^{\prime}(x)<0 se |x|>2, f^{\prime}(-2)=0, \lim _{x \rightarrow 2} f(x)=\infty, f^{\prime \prime}(x)>0 se x \neq 2.
f^{\prime}(x)>0 se |x|<2, f^{\prime}(x)<0 se |x|>2, f^{\prime}(-2)=0, \lim _{x \rightarrow 2} f(x)=\infty, f^{\prime \prime}(x)>0 se x \neq 2.
Passo 1
Resumindo o que cada condição nos diz sobre a forma do gráfico:
• para
⇒ a curva é convexa em todo lugar (exceto em
, onde pode haver assimptota).
• para
⇒ a função decresce sempre que
e também sempre que
.
• para
⇒ a função cresce em toda a região
.
• ⇒ há um ponto crítico em
.
• ⇒ há uma assimptota vertical em
, com o valor da função tendendo a
ao se aproximar de ambos os lados (pela convexidade).
•
•
•
•
•
Passo 2
Com
e
em
, o gráfico para
é uma curva convexa decrescente que se aproxima de um ponto de mínimo em
.
Em , como
e a curva é convexa
, esse ponto é um mínimo local (na verdade global, pois à esquerda e à direita a função sobe ou desce de modo compatível).
Em
Passo 3
Para
, temos
e
, então a curva sobe de modo cada vez mais íngreme (crescimento convexo) ao se aproximar de
.
Em , a função não está definida e a condição
indica uma assimptota vertical. Pela convexidade e pelo crescimento que vinha em
, o valor de
tende a
vindo tanto da esquerda quanto da direita.
Em
Passo 4
Para
,
e
fazem a curva descer de forma convexa a partir de
, ficando cada vez “menos inclinada” à medida que
cresce.
Resposta
O esboço qualitativo é o seguinte:
- Eixo vertical em
marcado como assimptota (linha tracejada). - Para
: curva convexa decrescente rumo a . - Em
: mínimo, tangente horizontal. - Para
: curva convexa crescente que dispara verticalmente em . - Para
: curva parte de e desce convexa, ficando cada vez mais plana conforme .