Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
- f{\prime}(0)=f{\prime}(2)=f^{\prime}(4)=0, f^{\prime}(x)>0 se x<0 ou 2<x<4, f^{\prime}(x)<0 se 0<x<2 ou x>4, f^{\prime \prime}(x)>0 se 1<x<3, f^{\prime \prime}(x)<0 se x<1 ou x>3.
Passo 1
O enunciado pede um esboço de uma função
com derivada e segunda derivada controladas em vários intervalos. Especificamente temos:
-
. -
se ou . -
se ou . -
se . -
se ou .
Para esboçar o gráfico vamos usar análise de sinais de
(monotonicidade) e de
(concavidade e pontos de inflexão).
Passo 2
Classificamos os pontos críticos em
observando o sinal de
à esquerda e à direita de cada um:
- Em
, muda de positiva (para ) para negativa (para ), logo existe máximo local em . - Em
, muda de negativa (em ) para positiva (em ), logo existe mínimo local em . - Em
, muda de positiva (em ) para negativa (para ), logo existe máximo local em .
Passo 3
Determinamos a monotonicidade a partir de
:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em e em .
Passo 4
Determinamos a concavidade e pontos de inflexão a partir de
:
- Para
, → concavidade para baixo. - Em
, muda o sinal de → ponto de inflexão. - Para
, → concavidade para cima. - Em
, novo ponto de inflexão. - Para
, → concavidade para baixo.
Passo 5
Agora montamos o esboço jundo as informações:
- De
até , sobe (crescente) e está concava para baixo, atingindo um máximo local em . - De
a , desce (decrescente) e continua côncava para baixo, até o ponto de inflexão em . - De
a , desce mas agora côncava para cima, até atingir o mínimo local em . - De
a , sobe (crescente) e continua côncava para cima, até o inflexão em . - De
a , sobe e passa a ser côncava para baixo, até o máximo local em . - Para
, decresce e permanece côncava para baixo.
Resposta
Um esboço típico terá esta forma qualitativa:
- Cresce de
até um pico em (concava para baixo). - Cai até
, mudando de concavidade em (infleção) e atingindo um vale em . - Sobe até
, mudando de concavidade em (infleção) e atingindo outro pico em . - Por fim decresce para
.
Esse esboço respeita todos os sinais dados para
e
.