Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
  • f{\prime}(0)=f{\prime}(2)=f^{\prime}(4)=0, f^{\prime}(x)>0 se x<0 ou 2<x<4, f^{\prime}(x)<0 se 0<x<2 ou x>4, f^{\prime \prime}(x)>0 se 1<x<3, f^{\prime \prime}(x)<0 se x<1 ou x>3.

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f com derivada e segunda derivada controladas em vários intervalos. Especificamente temos:
  • f'(0)=f'(2)=f'(4)=0.
  • f'(x)>0 se x<0 ou 2<x<4.
  • f'(x)<0 se 0<x<2 ou x>4.
  • f''(x)>0 se 1<x<3.
  • f''(x)<0 se x<1 ou x>3.
Para esboçar o gráfico vamos usar análise de sinais de f' (monotonicidade) e de f'' (concavidade e pontos de inflexão).

Passo 2

Classificamos os pontos críticos em x=0,2,4 observando o sinal de f' à esquerda e à direita de cada um:
  • Em x=0, f' muda de positiva (para x<0) para negativa (para 0<x<2), logo existe máximo local em x=0.
  • Em x=2, f' muda de negativa (em 0<x<2) para positiva (em 2<x<4), logo existe mínimo local em x=2.
  • Em x=4, f' muda de positiva (em 2<x<4) para negativa (para x>4), logo existe máximo local em x=4.

Passo 3

Determinamos a monotonicidade a partir de f':
  • f é crescente em (-\infty,0) e em (2,4).
  • f é decrescente em (0,2) e em (4,\infty).

Passo 4

Determinamos a concavidade e pontos de inflexão a partir de f'':
  • Para x<1, f''(x)<0concavidade para baixo.
  • Em x=1, muda o sinal de f''ponto de inflexão.
  • Para 1<x<3, f''(x)>0concavidade para cima.
  • Em x=3, novo ponto de inflexão.
  • Para x>3, f''(x)<0concavidade para baixo.

Passo 5

Agora montamos o esboço jundo as informações:
  1. De -\infty até x=0, f sobe (crescente) e está concava para baixo, atingindo um máximo local em x=0.
  2. De 0 a 1, f desce (decrescente) e continua côncava para baixo, até o ponto de inflexão em x=1.
  3. De 1 a 2, f desce mas agora côncava para cima, até atingir o mínimo local em x=2.
  4. De 2 a 3, f sobe (crescente) e continua côncava para cima, até o inflexão em x=3.
  5. De 3 a 4, f sobe e passa a ser côncava para baixo, até o máximo local em x=4.
  6. Para x>4, f decresce e permanece côncava para baixo.

Resposta

Um esboço típico terá esta forma qualitativa:
  • Cresce de -\infty até um pico em x=0 (concava para baixo).
  • Cai até x=2, mudando de concavidade em x=1 (infleção) e atingindo um vale em x=2.
  • Sobe até x=4, mudando de concavidade em x=3 (infleção) e atingindo outro pico em x=4.
  • Por fim decresce para \infty.
Esse esboço respeita todos os sinais dados para f' e f''.

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