Qual a área de um losango de lado 6 cm e um dos ângulos internos de 1 radiano ?

Passo 1

O enunciado (e a imagem fornecida) dá um losango cujos lados medem \,6\\ \text{cm} e um dos ângulos internos vale \,1\\ \text{rad}. Estou pegando esses valores diretamente da figura: lado =6\\ \text{cm} e ângulo interno =1\\ \text{rad}. A pergunta é: qual a área desse losango?

Passo 2

Vamos entender o que precisamos para calcular a área de um losango. Um losango é um paralelogramo com todos os lados iguais. Uma fórmula básica para a área de um paralelogramo é
\text{área} = \text{base}\times\text{altura}.á
Aqui, escolhemos como base um lado do losango (que vale a) e então a altura é a distância perpendicular entre as bases (vamos chamar de h). Se os lados medem todos a e o ângulo entre dois lados consecutivos é \theta, podemos relacionar h com a e \theta usando trigonometria: em um triângulo retângulo obtido ao projetar um lado sobre a base, a altura é o cateto oposto ao ângulo \theta do triângulo que tem hipotenusa a. Pela definição da função seno num triângulo retângulo,
\sin(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{h}{a}.
Portanto
h = a\sin(\theta).

Passo 3

Substituindo h na fórmula da área do paralelogramo temos, para o losango (onde ambos os lados adjacentes valem a):
\text{área} = a\cdot h = a\cdot (a\sin(\theta)) = a^{2}\sin(\theta).á
Aqui expliquei passo a passo o porquê: escolhemos a base = a, expressamos a altura em função de a e \theta usando a definição de seno, e multiplicamos.

Passo 4

Agora aplico os valores do enunciado: a=6\\ \text{cm} e \theta=1\\ \text{rad}. Substituindo na fórmula:
\text{área} = 6^{2}\sin(1)=36\sin(1)\\ \text{cm}^{2}.á
Essa é a expressão exata (em termos da função seno). Se quisermos um valor numérico aproximado, usamos \sin(1)\approx 0{,}8414709848. Multiplicando:
36\sin(1)\approx 36\times 0{,}8414709848 \approx 30{,}29295545\\ \text{cm}^{2}.
Arredondando normalmente para duas casas decimais fica \approx 30{,}29\\ \text{cm}^{2}.

Passo 5

Como reforço: existe também uma outra via — usar as diagonais. Num losango as diagonais se cruzam perpendicularmente e valem
d_{1}=2a\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right),\qquad d_{2}=2a\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right).
A área então é \dfrac{d_{1}d_{2}}{2}. Fazendo as contas usando a identidade \sin(\theta)=2\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right) recuperamos a^{2}\sin(\theta), ou seja, a mesma fórmula e o mesmo resultado numérico. Então a solução está consistente.

Resposta

36\sin(1)\\ \text{cm}^{2}
\approx 30{,}29\\ \text{cm}^{2}

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