Considere um jardim triângular, em que o canto de
é substituído por um quarto de círculo de raio de 4 metros. Calcule a área e o perímetro (externo) desse jardim.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a área e o perímetro externo do jardim cuja forma é a de um triângulo retângulo em que o canto de
foi substituído por um quarto de círculo de raio
.\n
Informações dadas (extraídas do enunciado/figura):
Informações dadas (extraídas do enunciado/figura):
- Um cateto vertical mede
. - O outro cateto horizontal mede
. - O ângulo reto no vértice entre esses catetos foi substituído por um quarto de círculo de raio
centrado nesse vértice.
Perguntas explícitas: - Calcular a área do jardim (área da figura resultante).
- Calcular o perímetro externo do jardim (soma dos comprimentos das partes externas: segmentos retos restantes + arco do quarto de círculo).
Passo 2
Vamos calcular a área do triângulo retângulo original (antes de “tirar” o quarto de círculo). Fórmula da área de um triângulo quando se conhece base e altura:
onde cada variável é um comprimento em metros. Aqui podemos tomar a base como
e a altura como
. Substituindo:
Breve explicação didática: a fórmula vem da ideia de que um triângulo retângulo é metade de um retângulo que teria os mesmos catetos como lados.
Passo 3
Agora calculamos a área do quarto de círculo que foi “recortado” do canto. Fórmula da área de um círculo é
. Um quarto de círculo tem
dessa área. Então:
onde
é o raio do quarto de círculo. Aqui
. Assim:
Explicação: multiplicamos a área total do círculo por
porque só usamos um quarto da circunferência.
Passo 4
A área do jardim é a área do triângulo original menos a área do quarto de círculo que foi retirado. Portanto:
Se quisermos um valor aproximado, usamos
:
Comentário prático: guarde a forma exata
para respostas simbólicas; use a aproximação apenas se pedirem valor numérico.
Passo 5
Para o perímetro precisamos somar os trechos externos: os dois segmentos retos restantes dos catetos (após retirar o arco), o hipotenusa inteira e o arco do quarto de círculo. Primeiro encontramos o comprimento da hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras:
onde
e
. Substituindo:
Fatorando
, obtemos
Explicação: o Teorema de Pitágoras dá a hipotenusa do triângulo retângulo a partir dos catetos.
Passo 6
Agora os comprimentos dos segmentos retos restantes nos catetos: o arco de raio
“come”
em cada cateto a partir do vértice. Então:
- segmento vertical restante:
, - segmento horizontal restante:
.
O comprimento do arco do quarto de círculo (arc length) pode ser obtido como uma fração
da circunferência total
, ou usando
com
. Assim:
Com
:
Passo 7
Somamos todas as partes do perímetro externo:
- segmento vertical restante:
, - segmento horizontal restante:
, - hipotenusa:
, - arco do quarto de círculo:
.
Logo o perímetro é
Aproximação numérica usando
e
: