Considere um jardim triângular, em que o canto de 90^{\circ} é substituído por um quarto de círculo de raio de 4 metros. Calcule a área e o perímetro (externo) desse jardim.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a área e o perímetro externo do jardim cuja forma é a de um triângulo retângulo em que o canto de 90^\circ foi substituído por um quarto de círculo de raio 4\\ \mathrm{m}.\n
Informações dadas (extraídas do enunciado/figura):
  • Um cateto vertical mede \,8\\ \mathrm{m}\,.
  • O outro cateto horizontal mede \,12\\ \mathrm{m}\,.
  • O ângulo reto no vértice entre esses catetos foi substituído por um quarto de círculo de raio \,4\\ \mathrm{m}\, centrado nesse vértice.
    Perguntas explícitas:
  • Calcular a área do jardim (área da figura resultante).
  • Calcular o perímetro externo do jardim (soma dos comprimentos das partes externas: segmentos retos restantes + arco do quarto de círculo).

Passo 2

Vamos calcular a área do triângulo retângulo original (antes de “tirar” o quarto de círculo). Fórmula da área de um triângulo quando se conhece base e altura:
\text{Área}_{\text{tri}}=\tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura},Á
onde cada variável é um comprimento em metros. Aqui podemos tomar a base como \,12\\ \mathrm{m}\, e a altura como \,8\\ \mathrm{m}\,. Substituindo:
\text{Área}_{\text{tri}}=\tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48\\ \mathrm{m}^2.Á
Breve explicação didática: a fórmula vem da ideia de que um triângulo retângulo é metade de um retângulo que teria os mesmos catetos como lados.

Passo 3

Agora calculamos a área do quarto de círculo que foi “recortado” do canto. Fórmula da área de um círculo é \pi r^2. Um quarto de círculo tem \tfrac{1}{4} dessa área. Então:
\text{Área}_{\text{quarto}}=\tfrac{1}{4}\pi r^2,Á
onde r é o raio do quarto de círculo. Aqui r=4\\ \mathrm{m}. Assim:
\text{Área}_{\text{quarto}}=\tfrac{1}{4}\pi\cdot 4^2=\tfrac{1}{4}\pi\cdot 16=4\pi\\ \mathrm{m}^2.Á
Explicação: multiplicamos a área total do círculo por \tfrac{1}{4} porque só usamos um quarto da circunferência.

Passo 4

A área do jardim é a área do triângulo original menos a área do quarto de círculo que foi retirado. Portanto:
\text{Área}_{\text{jardim}}=\text{Área}_{\text{tri}}-\text{Área}_{\text{quarto}}=48-4\pi\\ \mathrm{m}^2.ÁÁÁ
Se quisermos um valor aproximado, usamos \pi\approx 3{,}14159:
48-4\pi\approx 48-12{,}5664\approx 35{,}434\\ \mathrm{m}^2.
Comentário prático: guarde a forma exata 48-4\pi para respostas simbólicas; use a aproximação apenas se pedirem valor numérico.

Passo 5

Para o perímetro precisamos somar os trechos externos: os dois segmentos retos restantes dos catetos (após retirar o arco), o hipotenusa inteira e o arco do quarto de círculo. Primeiro encontramos o comprimento da hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras:
c=\sqrt{a^2+b^2},
onde a=8\\ \mathrm{m} e b=12\\ \mathrm{m}. Substituindo:
c=\sqrt{8^2+12^2}=\sqrt{64+144}=\sqrt{208}.
Fatorando \,208=16\cdot 13, obtemos
\sqrt{208}=4\sqrt{13}\\ \mathrm{m}.
Explicação: o Teorema de Pitágoras dá a hipotenusa do triângulo retângulo a partir dos catetos.

Passo 6

Agora os comprimentos dos segmentos retos restantes nos catetos: o arco de raio 4\\ \mathrm{m} “come” 4\\ \mathrm{m} em cada cateto a partir do vértice. Então:
  • segmento vertical restante: 8-4=4\\ \mathrm{m},
  • segmento horizontal restante: 12-4=8\\ \mathrm{m}.
O comprimento do arco do quarto de círculo (arc length) pode ser obtido como uma fração \tfrac{1}{4} da circunferência total 2\pi r, ou usando s=r\theta com \theta=\tfrac{\pi}{2}. Assim:
\text{comprimento do arco}=\tfrac{1}{4}\cdot 2\pi r=\tfrac{\pi r}{2}.
Com r=4:
\text{comprimento do arco}=2\pi\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Somamos todas as partes do perímetro externo:
  • segmento vertical restante: 4\\ \mathrm{m},
  • segmento horizontal restante: 8\\ \mathrm{m},
  • hipotenusa: 4\sqrt{13}\\ \mathrm{m},
  • arco do quarto de círculo: 2\pi\\ \mathrm{m}.
Logo o perímetro é
\text{Perímetro}=4+8+4\sqrt{13}+2\pi=12+4\sqrt{13}+2\pi\\ \mathrm{m}.í
Aproximação numérica usando \sqrt{13}\approx 3{,}60555 e \pi\approx 3{,}14159:
\text{Perímetro}\approx 12+4\cdot 3{,}60555+2\cdot 3{,}14159\approx 32{,}705\\ \mathrm{m}.í

Resposta

\text{Área}=48-4\pi\\ \mathrm{m}^2\approx 35{,}434\\ \mathrm{m}^2Á\n
\text{Perímetro}=12+4\sqrt{13}+2\pi\\ \mathrm{m}\approx 32{,}705\\ \mathrm{m}í

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