Considere um jardim triângular, em que o canto de
é substituído por um quarto de círculo de raio de 6 metros. Calcule a área e o perímetro (externo) desse jardim.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a área e o perímetro externo do jardim que é originalmente um triângulo retângulo (ângulo de
no vértice direito) e cujo vértice reto foi substituído por um quarto de círculo de raio
m.
Informações dadas (explicitadas da figura):
Informações dadas (explicitadas da figura):
- A base do triângulo, do vértice esquerdo até o vértice direito, mede
m. - O ângulo no vértice esquerdo vale
. - O vértice direito é um ângulo reto (
) originalmente, e nele foi feito um quarto de círculo de raio m (ou seja, o arco é um quarto de circunferência de raio ). - O jardim final tem então: o lado oblíquo (hipotenusa) inteiro, duas arestas retilíneas reduzidas (cada uma perde o trecho de comprimento
junto ao vértice direito) e um arco de quarto de círculo que liga esses dois pontos.
Passo 2
Identificar os lados do triângulo retângulo: seja
o vértice esquerdo (
),
o vértice direito (ângulo reto, centro do quarto de círculo) e
o vértice superior direito. Assim:
é a base conhecida
m,
é a altura (vertical), e
é a hipotenusa. Como
e
, tem-se
.
Para encontrar
(o cateto oposto a
) usamos a definição da tangente em triângulos retângulos:
Aqui
, cateto oposto é
e cateto adjacente é
. Logo
Passo 3
Calcular numericamente
(mostrando a conta): primeiro lembrar que
. Portanto
Passo 4
Encontrar a hipotenusa
. Podemos usar a relação com o cosseno:
Ou, equivalentemente, usar Pitágoras. Usando
temos
Breve explicação (aula curta): o cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente (aqui
) e a hipotenusa. Isolando a hipotenusa obtém-se a fórmula usada.
Passo 5
Área do triângulo original: a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos. Aqui
Substituindo
:
Numericamente, com
,
Passo 6
Área do quarto de círculo removido: a área de um círculo é
. Um quarto de círculo tem área
. Com
m:
Numericamente
.
Passo 7
Área final do jardim (triângulo com o canto direito substituído pelo quarto de círculo) = área do triângulo original menos a área do quarto de círculo:
Numérico:
Passo 8
Montar o perímetro externo: o contorno externo é formado por quatro trechos:
- o segmento da base que vai de
até o ponto onde o arco começa; esse segmento tem comprimento (pois o arco retira um trecho de comprimento da base perto de ); como , esse trecho vale m; - o segmento vertical que vai do vértice
até o ponto onde o arco encontra a vertical; esse trecho vale (pois a vertical perde junto ao vértice ); - a hipotenusa
completa, que já encontramos; - o arco do quarto de círculo, cujo comprimento é um quarto da circunferência:
. Com obtemos comprimento do arco .
Portanto o perímetro externo é
Substituindo
e
e
obtemos uma forma fechada:
Passo 9
Cálculo numérico do perímetro (mostrando as contas):
-
m; -
m; -
m; - arco
m.
Somando: