Considere um jardim triângular, em que o canto de 90^{\circ} é substituído por um quarto de círculo de raio de 6 metros. Calcule a área e o perímetro (externo) desse jardim.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a área e o perímetro externo do jardim que é originalmente um triângulo retângulo (ângulo de 90^\circ no vértice direito) e cujo vértice reto foi substituído por um quarto de círculo de raio 6 m.
Informações dadas (explicitadas da figura):
  • A base do triângulo, do vértice esquerdo até o vértice direito, mede \;16 m.
  • O ângulo no vértice esquerdo vale \;50^\circ.
  • O vértice direito é um ângulo reto ( 90^\circ) originalmente, e nele foi feito um quarto de círculo de raio \;6 m (ou seja, o arco é um quarto de circunferência de raio 6).
  • O jardim final tem então: o lado oblíquo (hipotenusa) inteiro, duas arestas retilíneas reduzidas (cada uma perde o trecho de comprimento 6 junto ao vértice direito) e um arco de quarto de círculo que liga esses dois pontos.

Passo 2

Identificar os lados do triângulo retângulo: seja A o vértice esquerdo ( 50^\circ), B o vértice direito (ângulo reto, centro do quarto de círculo) e C o vértice superior direito. Assim: AB é a base conhecida \;AB=16 m, BC é a altura (vertical), e AC é a hipotenusa. Como \angle A=50^\circ e \angle B=90^\circ, tem-se \angle C=40^\circ.
Para encontrar BC (o cateto oposto a \angle A) usamos a definição da tangente em triângulos retângulos:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Aqui \theta=50^\circ, cateto oposto é BC e cateto adjacente é AB. Logo
BC = AB\cdot \tan 50^\circ = 16\cdot \tan 50^\circ.

Passo 3

Calcular numericamente BC (mostrando a conta): primeiro lembrar que \tan 50^\circ\approx 1{,}1917535926. Portanto
BC = 16\cdot \tan 50^\circ \approx 16\cdot 1{,}1917535926 \approx 19{,}068057.

Passo 4

Encontrar a hipotenusa AC. Podemos usar a relação com o cosseno:
\cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}\quad\Rightarrow\quad AC=\frac{AB}{\cos 50^\circ}.
Ou, equivalentemente, usar Pitágoras. Usando \cos 50^\circ\approx 0{,}6427876097 temos
AC = \frac{16}{\cos 50^\circ} \approx \frac{16}{0{,}6427876097} \approx 24{,}899365.
Breve explicação (aula curta): o cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente (aqui AB) e a hipotenusa. Isolando a hipotenusa obtém-se a fórmula usada.

Passo 5

Área do triângulo original: a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos. Aqui
\text{Área}_{\text{triângulo}}=\frac{1}{2}\,AB\cdot BC.Áâ
Substituindo BC=16\tan50^\circ:
\text{Área}_{\text{triângulo}}=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot(16\tan50^\circ)=128\tan50^\circ.Áâ
Numericamente, com \tan50^\circ\approx 1{,}1917535926,
\text{Área}_{\text{triângulo}}\approx 128\cdot 1{,}1917535926 \approx 152{,}544460\\ \text{m}^2.Áâ

Passo 6

Área do quarto de círculo removido: a área de um círculo é \pi r^2. Um quarto de círculo tem área \dfrac{1}{4}\pi r^2. Com r=6 m:
\text{Área}_{\text{quarto}}=\frac{1}{4}\pi\cdot 6^2=\frac{1}{4}\pi\cdot 36=9\pi.Á
Numericamente 9\pi\approx 28{,}2743339\\ \text{m}^2.

Passo 7

Área final do jardim (triângulo com o canto direito substituído pelo quarto de círculo) = área do triângulo original menos a área do quarto de círculo:
\text{Área}_{\text{jardim}} = 128\tan50^\circ - 9\pi.Á
Numérico:
\text{Área}_{\text{jardim}}\approx 152{,}544460 - 28{,}2743339 \approx 124{,}270126\\ \text{m}^2.Á

Passo 8

Montar o perímetro externo: o contorno externo é formado por quatro trechos:
  • o segmento da base que vai de A até o ponto onde o arco começa; esse segmento tem comprimento AB-6 (pois o arco retira um trecho de comprimento 6 da base perto de B); como AB=16, esse trecho vale 16-6=10 m;
  • o segmento vertical que vai do vértice C até o ponto onde o arco encontra a vertical; esse trecho vale BC-6 (pois a vertical perde 6 junto ao vértice B);
  • a hipotenusa AC completa, que já encontramos;
  • o arco do quarto de círculo, cujo comprimento é um quarto da circunferência: \dfrac{1}{4}\cdot 2\pi r=\dfrac{\pi r}{2}. Com r=6 obtemos comprimento do arco =3\pi.
Portanto o perímetro externo é
P = (AB-6) + (BC-6) + AC + 3\pi.
Substituindo AB=16 e BC=16\tan50^\circ e AC=\dfrac{16}{\cos50^\circ} obtemos uma forma fechada:
P = 4 + 16\tan50^\circ + \frac{16}{\cos50^\circ} + 3\pi.

Passo 9

Cálculo numérico do perímetro (mostrando as contas):
  • AB-6 = 16-6 = 10 m;
  • BC-6 = 16\tan50^\circ -6 \approx 19{,}068057 - 6 = 13{,}068057 m;
  • AC \approx 24{,}899365 m;
  • arco =3\pi \approx 9{,}42477796 m.
Somando:
P \approx 10 + 13{,}068057 + 24{,}899365 + 9{,}42477796 \approx 57{,}392200.

Resposta

\text{Área} = 128\tan 50^\circ - 9\pi \approx 124{,}27\\ \text{m}^2Á
\text{Perímetro} = 4 + 16\tan 50^\circ + \frac{16}{\cos 50^\circ} + 3\pi \approx 57{,}39\\ \text{m}í

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