Qual é a área mínima (em metros quadrados) da superfície superior de uma placa retangular de gelo com h=0,8 m de espessura (ou altura) que flutua em água doce para que seja capaz de sustentar um automóvel de 1000 kg sem molhar os pneus? Suponha que as massas específicas do gelo e da água são 920 kg/m^3 e 1000 kg/m^3, respectivamente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa retangular de gelo com uma espessura de $ h = 0,8 , m $ que está flutuando em água doce. Precisamos descobrir qual é a área mínima da superfície superior dessa placa para que ela consiga sustentar um automóvel de 1000 kg sem molhar os pneus. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à flutuabilidade e densidade.

Passo 2

Vamos começar lembrando do princípio de Arquimedes, que diz que a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto. No nosso caso, a força de empuxo deve ser igual ao peso total da placa de gelo mais o peso do automóvel.

Passo 3

Primeiro, calculamos o peso da placa de gelo. Para isso, usamos a fórmula:
Peso da placa = Volume da placa times Densidade do >=lo times g
Onde:
  • Volume da placa $ = A \times h $
  • $ A $ é a área da superfície superior que queremos encontrar.
  • $ h = 0,8 , m $
  • Densidade do gelo $ = 920 , kg/m^3 $
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (vamos considerar $ g \approx 9,81 , m/s^2 $, mas como vai se cancelar depois, não precisamos nos preocupar com o valor exato).
Então:
= A times h

Passo 4

Agora, calculamos o peso do automóvel, que é dado diretamente:
Peso do automóvel = 1000 , kg times g ó

Passo 5

A força de empuxo necessária para sustentar ambos é igual à soma dos pesos da placa e do automóvel:
Empuxo = Peso da placa + Peso do automóvel ó
Substituindo:
A times s times 1000 times g = A times 0,8 times 920 times g + 1000 times g
Onde $ s $ é a profundidade da imersão da placa na água.

Passo 6

Podemos simplificar a equação cancelando $ g $ dos dois lados:
g
A times s times 1000 = A times 0,8 times 920 + 1000

Passo 7

Queremos a área mínima $ A $, então precisamos considerar que a profundidade $ s $ não pode ser maior que a altura da placa $ h = 0,8 , m $. Portanto, $ s \leq 0,8 , m $.

Passo 8

Substituindo $ s = 0,8 , m $ na equação:
s = 0,8 , m
1000A times 0,8 = 736A + 1000

Passo 9

Resolvendo para $ A $:
A
800A - 736A = 1000
64A = 1000
A = 100064

Resposta

A área mínima da superfície superior da placa de gelo é de aproximadamente $ 15,625 , m^2 $.

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