Qual é a área mínima (em metros quadrados) da superfície superior de uma placa retangular de gelo com
de espessura (ou altura) que flutua em água doce para que seja capaz de sustentar um automóvel de 1000 kg sem molhar os pneus? Suponha que as massas específicas do gelo e da água são 920
e 1000
, respectivamente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa retangular de gelo com uma espessura de $ h = 0,8 , m $ que está flutuando em água doce. Precisamos descobrir qual é a área mínima da superfície superior dessa placa para que ela consiga sustentar um automóvel de 1000 kg sem molhar os pneus. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à flutuabilidade e densidade.
Passo 2
Vamos começar lembrando do princípio de Arquimedes, que diz que a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto. No nosso caso, a força de empuxo deve ser igual ao peso total da placa de gelo mais o peso do automóvel.
Passo 3
Primeiro, calculamos o peso da placa de gelo. Para isso, usamos a fórmula:
Onde:
- Volume da placa $ = A \times h $
- $ A $ é a área da superfície superior que queremos encontrar.
- $ h = 0,8 , m $
- Densidade do gelo $ = 920 , kg/m^3 $
- $ g $ é a aceleração da gravidade (vamos considerar $ g \approx 9,81 , m/s^2 $, mas como vai se cancelar depois, não precisamos nos preocupar com o valor exato).
Então:
Passo 4
Agora, calculamos o peso do automóvel, que é dado diretamente:
Passo 5
A força de empuxo necessária para sustentar ambos é igual à soma dos pesos da placa e do automóvel:
Substituindo:
Onde $ s $ é a profundidade da imersão da placa na água.
Passo 6
Podemos simplificar a equação cancelando $ g $ dos dois lados:
Passo 7
Queremos a área mínima $ A $, então precisamos considerar que a profundidade $ s $ não pode ser maior que a altura da placa $ h = 0,8 , m $. Portanto, $ s \leq 0,8 , m $.
Passo 8
Substituindo $ s = 0,8 , m $ na equação:
Passo 9
Resolvendo para $ A $:
Resposta
A área mínima da superfície superior da placa de gelo é de aproximadamente $ 15,625 , m^2 $.