Um ioiô possui momento de inércia igual a 950 g cm^2 e massa de 120 g . O raio de seu eixo é 3,2 mm e comprimento do fio 120 cm . Se o ioiô entrar em movimento rotatório quando o fio se desenrola completamente. qual será a velocidade angular neste instante em rev/s?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um ioiô com certas propriedades físicas, como momento de inércia, massa, raio do eixo e comprimento do fio. Queremos descobrir qual será a velocidade angular do ioiô em revoluções por segundo quando o fio se desenrolar completamente. Vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional e dinâmica rotacional, especialmente a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Momento de inércia,
  • Massa,
  • Raio do eixo, (converti para centímetros para manter as unidades consistentes)
  • Comprimento do fio,
Precisamos encontrar a velocidade angular, , em revoluções por segundo.

Passo 3

Vamos lembrar que a velocidade linear v = omega cdot r do ioiô está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Como o fio está se desenrolando, a velocidade linear do fio é a mesma que a velocidade linear da borda do eixo do ioiô.

Passo 4

Quando o fio se desenrola completamente, a distância que o ioiô desceu é igual ao comprimento do fio, L = omega cdot r cdot t . Podemos usar a relação entre o deslocamento linear e a rotação:
No entanto, precisamos relacionar isso com a velocidade angular. Vamos considerar que a velocidade final é alcançada quando todo o fio se desenrola.

Passo 5

Vamos usar a conservação de energia. A energia potencial gravitacional inicial é convertida em energia cinética de translação e energia cinética de rotação:
mgh = 12mv^2 + 12Iomega^2
Onde (altura que o ioiô desce) e é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 6

Substituindo mgh = 12m(omega r)^2 + 12Iomega^2 na equação de energia:
mgh = 12omega^2(mr^2 + I)
Fatorando :

Passo 7

Isolando omega^2 = 2mghmr^2 + I :
Agora, vamos substituir os valores:

Passo 8

Calculando o numerador:
2mgh = 2 times 120 times 980 times 120 = 2 times 120 times 980 times 120 = 2 times 120 times 117600 = 2 times 14112000 = 28224000 , g cdot cm^2/s^2
Calculando o denominador:
mr^2 + I = 120 times (0,32)^2 + 950 = 120 times 0,1024 + 950 = 12,288 + 950 = 962,288 , g cdot cm^2

Passo 9

Agora, calculando omega^2 = 28224000962,288 approx 29340,74 , s^-2 :
omega = raiz29340,74 approx 171,30 , rad/s
Então:

Passo 10

Mas queremos a velocidade angular em rev/s, não em rad/s. Sabemos que:
1 , rev = 2pi , rad
Então:
omegarev/s = omega2pi = 171,306,2832 approx 27,28 , rev/s

Resposta

A velocidade angular do ioiô quando o fio se desenrolar completamente será aproximadamente 27,28 rev/s.

Exercícios relacionados