Um ioiô possui momento de inércia igual a
e massa de 120 g . O raio de seu eixo é
e comprimento do fio 120 cm . Se o ioiô entrar em movimento rotatório quando o fio se desenrola completamente. qual será a velocidade angular neste instante em rev/s?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um ioiô com certas propriedades físicas, como momento de inércia, massa, raio do eixo e comprimento do fio. Queremos descobrir qual será a velocidade angular do ioiô em revoluções por segundo quando o fio se desenrolar completamente. Vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional e dinâmica rotacional, especialmente a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os dados que temos:
- Momento de inércia,
- Massa,
- Raio do eixo,
(converti para centímetros para manter as unidades consistentes) - Comprimento do fio,
Precisamos encontrar a velocidade angular,
, em revoluções por segundo.
Passo 3
Vamos lembrar que a velocidade linear
do ioiô está relacionada à velocidade angular
pela fórmula:
Como o fio está se desenrolando, a velocidade linear do fio é a mesma que a velocidade linear da borda do eixo do ioiô.
Passo 4
Quando o fio se desenrola completamente, a distância que o ioiô desceu é igual ao comprimento do fio,
. Podemos usar a relação entre o deslocamento linear e a rotação:
No entanto, precisamos relacionar isso com a velocidade angular. Vamos considerar que a velocidade final
é alcançada quando todo o fio se desenrola.
Passo 5
Vamos usar a conservação de energia. A energia potencial gravitacional inicial é convertida em energia cinética de translação e energia cinética de rotação:
Onde
(altura que o ioiô desce) e
é a aceleração da gravidade (
).
Passo 6
Substituindo
na equação de energia:
Fatorando
:
Passo 7
Isolando
:
Agora, vamos substituir os valores:
Passo 8
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Passo 9
Agora, calculando
:
Então:
Passo 10
Mas queremos a velocidade angular em rev/s, não em rad/s. Sabemos que:
Então:
Resposta
A velocidade angular do ioiô quando o fio se desenrolar completamente será aproximadamente 27,28 rev/s.