A área \pi a b da elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 pode ser encontrada integrado a função f(x, y)=1 sobre a região delimitada pela elipse no plano x y. Calcular a integral diretamente exige uma substituição trigonométrica. Uma maneira mais fácil de calcular a integral é utilizar a transformação x=a u, y=b v e calcular a área sobre uma região S no plano u v. Encontre a área da elipse utilizando mudança de variável em integral dupla.
Passo 1
O enunciado dá a elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
e diz que a área da região interior pode ser calculada pela integral dupla da função 1 sobre essa região. Foi sugerida a transformação
x = a u,\qquad y = b v.
O que se pede: calcular a área da elipse usando essa mudança de variável. Informações relevantes fornecidas:
\text{equação da elipse: }\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \quad\text{transformação: }x=au,\;y=bv.
Passo 2
Vamos lembrar a ideia da mudança de variável em integrais duplas (explicação didática): se T(u,v)=(x(u,v),y(u,v)) é uma transformação suave e bijetora entre uma região S no plano uv e uma região R no plano xy, então para uma função contínua f vale
Interpretação simples: |J(u,v)| é o fator de escala de área local — um pequeno retângulo em uv de área du\,dv vira, pela transformação, uma pequena região em xy de área aproximadamente |J|\,du\,dv.]
Passo 3
Aplicamos isso ao nosso caso: x=au e y=bv. Calculamos as derivadas parciais:
Ou seja, é ab vezes a área do disco unitário S. Vamos calcular a área do disco unitário usando coordenadas polares em (u,v): u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta com 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi. O jacobiano das coordenadas polares é r, então