Utilize uma integral dupla, em coordenadas polares, para determinar a área da região indicada.
Dentro da lemniscata r^{2}=4 \cos 2 \theta.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região dentro da lemniscata dada pela equação \,r^{2}=4\cos 2\theta\,.
Informações fornecidas que vamos usar:
A curva está dada em coordenadas polares por \,r^{2}=4\cos 2\theta\,.
A região “dentro” da lemniscata significa todos os pontos (r,\theta) com 0\le r\le r(\theta) quando \cos 2\theta\ge 0.
Pergunta a responder: qual é a área total da região delimitada por essa lemniscata?
Passo 2
Por que usar integral em coordenadas polares e qual fórmula de área vamos aplicar? (aqui eu explico a ferramenta passo a passo.)
Em coordenadas polares, um pequeno elemento de área é dado por \,dA = r\,dr\,d\theta\,. Isso vem da ideia de aproximar a região por setores circulares finos: um setor com raio entre r e r+dr e ângulo d\theta tem área aprox. \,(\text{área do anel})\approx r\,d\theta\cdot dr\,. Logo, a área de uma região descrita por 0\le r\le R(\theta) e \theta variando entre \theta_1 e \theta_2 é
Determinar para quais \theta a curva existe (isto é, onde r^{2} é não-negativo). Da equação \,r^{2}=4\cos 2\theta\, precisamos de \cos 2\theta\ge 0. Vamos resolver essa desigualdade de forma clara:
Sabemos que \cos t\ge 0 quando t\in[-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+2k\pi] para inteiros k.
Pegando k=0 temos o intervalo \theta\in[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}] (um lobo da lemniscata). Pegando k=1 obtemos \theta\in[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}] (o outro lobo). Os dois lobos são simétricos (um em torno do eixo x para \theta próximos a 0, outro centrado em \theta=\pi). Isso significa que podemos calcular a área de um lobo e multiplicar por 2.
Passo 4
Calcular a área de um lobo usando a fórmula. Para um lobo, escolhemos os limites \theta\in[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}]. A função R(\theta) satisfaz \,R(\theta)^{2}=4\cos 2\theta\,. Substituindo na fórmula da área:
\text{Área do lobo}=\tfrac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4} R(\theta)^{2}\,d\theta =\tfrac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4} 4\cos 2\theta\,d\theta.Á
Simplificando o fator constante:
\text{Área do lobo}=2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos 2\theta\,d\theta.Á
Agora fazemos a integral. Lembrete de cálculo: a primitiva de \cos(a\theta) é \tfrac{1}{a}\sin(a\theta). Aqui a=2, então
Agora avaliamos os extremos: \sin(2\cdot \tfrac{\pi}{4})=\sin\tfrac{\pi}{2}=1 e \sin(2\cdot (-\tfrac{\pi}{4}))=\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1. Então
\text{Área do lobo}=1-(-1)=2.Á
Passo 5
Obter a área total da lemniscata. Como há dois lobos idênticos (intervalos [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}] e [\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}]), a área total é o dobro da área de um lobo:
\text{Área total}=2\times 2=4.Á
Podemos também verificar rapidamente integrando diretamente sobre os dois intervalos de \theta; chegaremos ao mesmo resultado.