Uma área retangular com
deverá ser cercada. Na frente e no fundo do terreno deverá ser usada uma cerca que custa
1,00
\mathrm{R} $2,00$ o metro. Expresse o custo da cerca em função da medida x do lado da frente do terreno.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações:
- A área do terreno retangular é
. - O lado da frente do terreno tem medida
(em metros) — é a variável que queremos usar. - A cerca da frente e do fundo custa
por metro. - A cerca dos dois lados restantes custa
por metro.
Pergunta do enunciado:
- Expressar o custo total da cerca em função de
.
Passo 2
Definir as variáveis que vamos usar e escrever a restrição da área.
- Seja
a medida (em metros) do lado da frente (já dada). - Seja
a medida (em metros) do lado lateral (profundidade) do retângulo.
A área de um retângulo é o produto das medidas dos lados, então vale a relação
Isolando
em função de
(para podermos substituir na expressão do custo):
Observação sobre domínio:
, porque medidas de comprimento são positivas.
Passo 3
Calcular o custo separado por tipos de trechos da cerca.
- Frente: comprimento
com custo /m → custo da frente . - Fundo: também comprimento
com custo /m → custo do fundo . - Cada lado lateral: comprimento
com custo /m → custo de um lado . Como são dois lados, custo total das laterais .
Passo 4
Somar os custos para obter o custo total
em função de
e
:
Agora substituir
(obtido no Passo 2):
Passo 5
Fazer a simplificação aritmética:
logo
Também se pode escrever fatorando
:
Lembrete prático: o domínio é
. Exemplo de checagem rápida: se
então
e
e a fórmula dá
, compatível.