Uma área retangular com 288 \mathrm{~m}^{2} deverá ser cercada. Na frente e no fundo do terreno deverá ser usada uma cerca que custa \mathrm{R} \ 1,00 o metro e, nos lados restantes, uma cerca que custa\mathrm{R} $2,00$ o metro. Expresse o custo da cerca em função da medida x do lado da frente do terreno.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações:
  • A área do terreno retangular é 288\\ \mathrm{m}^{2}.
  • O lado da frente do terreno tem medida x (em metros) — é a variável que queremos usar.
  • A cerca da frente e do fundo custa \mathrm{R}\$\;1,00 por metro.
  • A cerca dos dois lados restantes custa \mathrm{R}\$\;2,00 por metro.
Pergunta do enunciado:
  • Expressar o custo total da cerca em função de x.

Passo 2

Definir as variáveis que vamos usar e escrever a restrição da área.
  • Seja x a medida (em metros) do lado da frente (já dada).
  • Seja y a medida (em metros) do lado lateral (profundidade) do retângulo.
A área de um retângulo é o produto das medidas dos lados, então vale a relação
x\cdot y = 288.
Isolando y em função de x (para podermos substituir na expressão do custo):
y=\frac{288}{x}.
Observação sobre domínio: x>0, porque medidas de comprimento são positivas.

Passo 3

Calcular o custo separado por tipos de trechos da cerca.
  • Frente: comprimento x com custo \mathrm{R}\$\;1,00/m → custo da frente =1\cdot x = x.
  • Fundo: também comprimento x com custo \mathrm{R}\$\;1,00/m → custo do fundo =1\cdot x = x.
  • Cada lado lateral: comprimento y com custo \mathrm{R}\$\;2,00/m → custo de um lado =2\cdot y. Como são dois lados, custo total das laterais =2\cdot(2y)=4y.

Passo 4

Somar os custos para obter o custo total C em função de x e y:
C(x,y)=x+x+4y=2x+4y.
Agora substituir y=\dfrac{288}{x} (obtido no Passo 2):
C(x)=2x+4\left(\frac{288}{x}\right).

Passo 5

Fazer a simplificação aritmética:
4\cdot 288 = 1152,
logo
C(x)=2x+\frac{1152}{x}.
Também se pode escrever fatorando 2:
C(x)=2\!\left(x+\frac{576}{x}\right).
Lembrete prático: o domínio é x>0. Exemplo de checagem rápida: se x=16 então y=288/16=18 e
C=2\cdot16+4\cdot18=32+72=104,
e a fórmula dá C(16)=2\cdot16+1152/16=32+72=104, compatível.

Resposta

C(x)=2x+\dfrac{1152}{x}\\ \text{(R\$)}

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