Se
para
, que valor deve ser atribuído a
para que a função
se torne contínua em
?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida para
.
A pergunta é: que valor deve ser atribuído a para que a função
seja contínua em
?
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: que valor deve ser atribuído a
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função para
é . - Atualmente a função não está definida em
(pois o denominador fica zero). - Precisamos escolher um valor para
de modo que a continuidade em seja satisfeita.
Passo 2
O que significa ser contínuo em
? Vou explicar com calma. Uma função
é contínua em um ponto
quando as três coisas acontecem:
-
está definido (ou seja, a função tem um valor em ). - O limite
existe. - Esse limite coincide com o valor da função:
.
Aqui queremos escolher
para que essas três condições valham em
. Em particular, precisamos calcular
e então definir
igual a esse limite.
Passo 3
Antes de tentar substituir
diretamente, note que se substituirmos na forma original obtemos divisão por zero, então não dá para avaliar
diretamente por substituição. Mas o limite
depende do comportamento de
quando
está próximo de
, não do valor em
em si. Uma técnica padrão é simplificar a expressão algébrica sempre que possível.
Vamos fatorar o numerador
. Calcula-se fatores que multiplicados dão
e somados dão
. Esses fatores são
e
. Assim:
Passo 4
Substituindo a fatoração na expressão de
(para
) temos:
Como estamos considerando
, podemos simplificar o fator comum
, obtendo a forma equivalente (para
):
Passo 5
Agora calculamos o limite quando
se aproxima de
. Como a expressão simplificada é uma função polinomial contínua, o limite é obtido por substituição direta:
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 6
Pelo critério de continuidade explicado no Passo 2, para que
seja contínua em
devemos ter:
Como o limite é
, devemos atribuir a
esse valor.
Passo 7
Interpretação final e comentário didático: originalmente a função tinha um “buraco” em
porque a expressão dava divisão por zero ali. Depois da simplificação observamos que, para
perto de
,
se comporta como a reta
. Ao definir
fechamos o buraco e a função fica contínua em
. Isso é um exemplo clássico de descontinuidade removível: a função limitante existe, só faltava atribuir o valor correto no ponto.
Passo 8
Exemplo extra rápido para fixar a ideia: considere
para
. Fatorando
e simplificando obtemos
para
. O limite
. Logo, definindo
torna-se contínua em
. Mesma ideia do problema principal.