Se f(x)=\frac{x^{2}+3 x-10}{x-2} para x \neq 2, que valor deve ser atribuído a f(2) para que a função f se torne contínua em x=2 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x)=\dfrac{x^{2}+3x-10}{x-2}\, definida para \,x\neq2.
A pergunta é: que valor deve ser atribuído a \,f(2)\, para que a função f seja contínua em \,x=2?
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função para \,x\neq2 é \displaystyle \dfrac{x^{2}+3x-10}{x-2}.
  • Atualmente a função não está definida em \,x=2 (pois o denominador fica zero).
  • Precisamos escolher um valor para \,f(2) de modo que a continuidade em \,x=2 seja satisfeita.

Passo 2

O que significa ser contínuo em \,x=2? Vou explicar com calma. Uma função f é contínua em um ponto a quando as três coisas acontecem:
  1. \,f(a)\, está definido (ou seja, a função tem um valor em a).
  2. O limite \,\lim_{x\to a} f(x)\, existe.
  3. Esse limite coincide com o valor da função: \,\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\,.
Aqui queremos escolher \,f(2)\, para que essas três condições valham em a=2. Em particular, precisamos calcular \,\lim_{x\to 2} f(x)\, e então definir \,f(2)\, igual a esse limite.

Passo 3

Antes de tentar substituir \,x=2 diretamente, note que se substituirmos na forma original obtemos divisão por zero, então não dá para avaliar \,f(2)\, diretamente por substituição. Mas o limite \,\lim_{x\to 2} f(x)\, depende do comportamento de f(x) quando x está próximo de 2, não do valor em 2 em si. Uma técnica padrão é simplificar a expressão algébrica sempre que possível.
Vamos fatorar o numerador \,x^{2}+3x-10. Calcula-se fatores que multiplicados dão -10 e somados dão 3. Esses fatores são 5 e -2. Assim:
x^{2}+3x-10=(x+5)(x-2).

Passo 4

Substituindo a fatoração na expressão de f(x) (para x\neq2) temos:
f(x)=\dfrac{(x+5)(x-2)}{x-2}.
Como estamos considerando x\neq2, podemos simplificar o fator comum (x-2), obtendo a forma equivalente (para x\neq2):
f(x)=x+5 \quad\text{quando } x\neq2.

Passo 5

Agora calculamos o limite quando x se aproxima de 2. Como a expressão simplificada é uma função polinomial contínua, o limite é obtido por substituição direta:
\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2} (x+5)=2+5=7.
Portanto o limite existe e vale \,7.

Passo 6

Pelo critério de continuidade explicado no Passo 2, para que f seja contínua em \,x=2 devemos ter:
f(2)=\lim_{x\to 2} f(x).
Como o limite é \,7, devemos atribuir a \,f(2)\, esse valor.

Passo 7

Interpretação final e comentário didático: originalmente a função tinha um “buraco” em x=2 porque a expressão dava divisão por zero ali. Depois da simplificação observamos que, para x perto de 2, f(x) se comporta como a reta x+5. Ao definir f(2)=7 fechamos o buraco e a função fica contínua em x=2. Isso é um exemplo clássico de descontinuidade removível: a função limitante existe, só faltava atribuir o valor correto no ponto.

Passo 8

Exemplo extra rápido para fixar a ideia: considere \,g(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1} para x\neq1. Fatorando \,x^{2}-1=(x-1)(x+1) e simplificando obtemos g(x)=x+1 para x\neq1. O limite \lim_{x\to1} g(x)=2. Logo, definindo g(1)=2 torna-se contínua em x=1. Mesma ideia do problema principal.

Resposta

7

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