Considere um quadrado de lado
, perímetro
e área
. Nessas condições, expresse:
a)
em função de
b)
em função de
c)
em função de
d)
em função de
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá um quadrado com:
- lado igual a
, - perímetro denotado por
, - área denotada por
.
O que se pede:
a) expressar em função de
;
b) expressar em função de
;
c) expressar em função de
;
d) expressar em função de
.
a) expressar
b) expressar
c) expressar
d) expressar
Informações relevantes (já conhecidas sobre um quadrado, úteis para a resolução):
- Um quadrado tem quatro lados iguais.
- A área de um quadrado é o produto do lado por ele mesmo (lado ao quadrado).
Passo 2
Definir o perímetro: perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados de uma figura plana. No caso do quadrado, como há quatro lados iguais de comprimento
, o perímetro é a soma de quatro cópias de
.
Portanto, escrevendo isso como fórmula:
Expliquei: aqui
é o total do contorno do quadrado e
é o comprimento de um lado. Para a prova, lembre que perímetro de polígono regular é número de lados vezes comprimento do lado.
Passo 3
Isolar
em função de
: partimos da equação encontrada no passo anterior e resolvemos para
. Isso é apenas uma operação algébrica de divisão em ambos os lados por
.
Dividindo ambos os lados por
obtemos:
Expliquei: ao dividir por
estamos distribuindo igualmente o perímetro pelos quatro lados — faz sentido geometricamente: cada lado é um quarto do perímetro.
Passo 4
Expressar a área em função de
: pela definição de área do quadrado, a área é o lado multiplicado por ele mesmo.
Expliquei: aqui
significa
vezes
. Unidade: se
estiver em metros,
ficará em metros quadrados.
Passo 5
Expressar a área em função de
: para isso substituímos a expressão de
em função de
(do Passo 3) na fórmula da área (do Passo 4).
Começando por substituir:
Agora simplificamos o quadrado de uma fração (elevando numerador e denominador ao quadrado):
Expliquei:
. Na prova, esse tipo de substituição direta é padrão: resolve-se primeiro uma variável e depois substitui-se onde necessário.
Passo 6
Checagem rápida com números (para solidificar a intuição):
- Se
, então pelo Passo 2 e pelo Passo 4 . Pela fórmula do Passo 5, com temos — confere. - Se
, pelo Passo 3 e pelo Passo 4 . Pela fórmula do Passo 5, — confere.