Considere um quadrado de lado \ell, perímetro P e área A. Nessas condições, expresse:
a) P em função de \ell
b) \ell em função de P
c) A em função de \ell
d) A em função de P

Passo 1

O enunciado nos dá um quadrado com:
  • lado igual a \ell,
  • perímetro denotado por P,
  • área denotada por A.
O que se pede:
a) expressar P em função de \ell;
b) expressar \ell em função de P;
c) expressar A em função de \ell;
d) expressar A em função de P.
Informações relevantes (já conhecidas sobre um quadrado, úteis para a resolução):
  • Um quadrado tem quatro lados iguais.
  • A área de um quadrado é o produto do lado por ele mesmo (lado ao quadrado).

Passo 2

Definir o perímetro: perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados de uma figura plana. No caso do quadrado, como há quatro lados iguais de comprimento \ell, o perímetro é a soma de quatro cópias de \ell.
Portanto, escrevendo isso como fórmula:
P = 4\ell
Expliquei: aqui P é o total do contorno do quadrado e \ell é o comprimento de um lado. Para a prova, lembre que perímetro de polígono regular é número de lados vezes comprimento do lado.

Passo 3

Isolar \ell em função de P: partimos da equação encontrada no passo anterior e resolvemos para \ell. Isso é apenas uma operação algébrica de divisão em ambos os lados por 4.
P = 4\ell
Dividindo ambos os lados por 4 obtemos:
\ell = \frac{P}{4}
Expliquei: ao dividir por 4 estamos distribuindo igualmente o perímetro pelos quatro lados — faz sentido geometricamente: cada lado é um quarto do perímetro.

Passo 4

Expressar a área em função de \ell: pela definição de área do quadrado, a área é o lado multiplicado por ele mesmo.
A = \ell^2
Expliquei: aqui \ell^2 significa \ell vezes \ell. Unidade: se \ell estiver em metros, A ficará em metros quadrados.

Passo 5

Expressar a área em função de P: para isso substituímos a expressão de \ell em função de P (do Passo 3) na fórmula da área (do Passo 4).
Começando por substituir:
A = \ell^2 = \left(\frac{P}{4}\right)^2
Agora simplificamos o quadrado de uma fração (elevando numerador e denominador ao quadrado):
A = \frac{P^2}{16}
Expliquei: \left(\dfrac{P}{4}\right)^2 = \dfrac{P^2}{4^2} = \dfrac{P^2}{16}. Na prova, esse tipo de substituição direta é padrão: resolve-se primeiro uma variável e depois substitui-se onde necessário.

Passo 6

Checagem rápida com números (para solidificar a intuição):
  • Se \ell = 2, então pelo Passo 2 P = 4\cdot 2 = 8 e pelo Passo 4 A = 2^2 = 4. Pela fórmula do Passo 5, com P=8 temos A = \dfrac{8^2}{16} = \dfrac{64}{16}=4 — confere.
  • Se P = 12, pelo Passo 3 \ell = \dfrac{12}{4}=3 e pelo Passo 4 A=3^2=9. Pela fórmula do Passo 5, A=\dfrac{12^2}{16}=\dfrac{144}{16}=9 — confere.

Resposta

P = 4\ell
\ell = \dfrac{P}{4}
A = \ell^2
A = \dfrac{P^2}{16}

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