Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um lado com uma cerca de três fios e nos outros lados, por uma cerca elétrica com um fio. Com 800 m de fio à disposição, determine quais as dimensões da maior área que poderá ser cercada e calcule o valor dessa área. Qual a opção correta.
a) As dimensões do retângulo são 120 m no lado paralelo à cerca de três fios por 160 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 19.200 m².
b) As dimensões do retângulo são 300 m no lado paralelo à cerca de três fios por 200 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 20.000 m².
c) As dimensões do retângulo são 50 m no lado paralelo à cerca de três fios por 300 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 15.000 m².
d) As dimensões do retângulo são 100 m no lado paralelo à cerca de três fios por 200 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 20.000 m².
e) As dimensões do retângulo são 150 m no lado paralelo à cerca de três fios por 100 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 15.000 m².
a) As dimensões do retângulo são 120 m no lado paralelo à cerca de três fios por 160 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 19.200 m².
b) As dimensões do retângulo são 300 m no lado paralelo à cerca de três fios por 200 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 20.000 m².
c) As dimensões do retângulo são 50 m no lado paralelo à cerca de três fios por 300 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 15.000 m².
d) As dimensões do retângulo são 100 m no lado paralelo à cerca de três fios por 200 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 20.000 m².
e) As dimensões do retângulo são 150 m no lado paralelo à cerca de três fios por 100 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 15.000 m².
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fazenda onde queremos cercar uma área retangular. Um dos lados desse retângulo vai ter uma cerca com três fios, e os outros três lados vão ter cercas elétricas com um fio cada. A gente tem 800 metros de cerca disponíveis. Nossa missão é descobrir quais devem ser as dimensões desse retângulo para que a área seja a maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização de área e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar mentalmente o retângulo. Imagine um lado maior que chamaremos de L e os lados menores que chamaremos de W. Segundo o enunciado, um dos lados L terá três fios de cerca, então a quantidade de cerca usada nesse lado será 3L. Os outros três lados (um L e dois W) terão apenas um fio cada, totalizando L + 2W.
Passo 3
Agora, vamos somar toda a cerca usada:
Sabemos que temos um total de 800 metros de cerca, então:
Passo 4
Para simplificar a equação, podemos dividir tudo por 2:
Vamos resolver essa equação para expressar W em termos de L:
Passo 5
Agora, queremos maximizar a área do retângulo, que é dada por:
Substituindo W na equação da área:
Passo 6
Para encontrar o valor de L que maximiza a área, vamos derivar a função área em relação a L e igualar a zero. Mas, de forma mais simples, sabemos que a função quadrática $ -2L^2 + 400L $ atinge o seu valor máximo no vértice da parábola. A fórmula para encontrar o vértice $ L_v $ de uma função do tipo $ ax^2 + bx + c $ é:
Aqui, $ a = -2 $ e $ b = 400 $, então:
Passo 7
Agora que sabemos que L = 100 metros maximiza a área, vamos encontrar W usando a equação que temos:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular a área máxima:
Resposta
A opção correta é a d): As dimensões do retângulo são 100 m no lado paralelo à cerca de três fios por 200 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 20.000 m².