Uma cultura de bactérias começa com 50 bactérias e aumenta exponencialmente. A relação entre b, o número de bactérias na cultura, e d, o tempo decorrido, em dias, é modelada pela seguinte equação. b=50 Em quantos dias o número de bactérias na cultura atingirá Dê uma resposta exata expressa como um logaritmo na base dez.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um problema sobre crescimento exponencial de bactérias! A gente começa com 50 bactérias e quer saber em quantos dias o número delas vai atingir um certo valor D. Para resolver isso, vamos usar a equação de crescimento exponencial e os logaritmos na base 10.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do crescimento exponencial. Ela geralmente é escrita assim:
Onde:
- $ b $ é o número final de bactérias,
- $ b_0 $ é o número inicial de bactérias (que aqui é 50),
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718),
- $ k $ é a taxa de crescimento,
- $ t $ é o tempo em dias.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o tempo $ t $ quando o número de bactérias $ b $ for igual a D. Então, substituímos na fórmula:
Passo 4
Para resolver para $ t $, primeiro dividimos os dois lados da equação por 50:
Passo 5
Agora, para eliminar o $ e $, usamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por $ k $:
Passo 7
Mas a resposta pedida é em logaritmo na base 10. Sabemos que:
Então, substituímos na equação de $ t $:
Resposta
Portanto, o tempo necessário para a cultura atingir D bactérias é: