Dado o segmento de reta AB com A(1, 0) e B(3, 4), determine a equação da reta que é perpendicular ao segmento AB e passa pelo seu ponto médio.
a) y = - x + 3
b) y = 1x/2 + 4
c) y = - 1x/2 + 3
d) y = 2x/3 + 1/3
a) y = - x + 3
b) y = 1x/2 + 4
c) y = - 1x/2 + 3
d) y = 2x/3 + 1/3
Passo 1
Então, a gente tem um segmento de reta AB onde o ponto A está em (1, 0) e o ponto B em (3, 4). O desafio aqui é encontrar a equação da reta que é perpendicular a esse segmento AB e que passa pelo ponto médio de AB. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como calcular o ponto médio, determinar o coeficiente angular (ou inclinação) da reta AB e depois encontrar a inclinação da reta perpendicular. Também vamos aplicar a fórmula da reta para chegar à equação final.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do segmento AB. O ponto médio (M) de dois pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) é calculado pela fórmula:
Substituindo os valores de A e B:
Então, o ponto médio é (2, 2).
Passo 3
Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da reta AB. A inclinação (m) entre dois pontos é dada por:
Para os pontos A(1, 0) e B(3, 4):
Então, a inclinação da reta AB é 2.
Passo 4
Como queremos uma reta perpendicular à AB, precisamos do coeficiente angular dessa nova reta. Retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos recíprocos. Isso significa que:
Portanto, a inclinação da reta perpendicular é -1/2.
Passo 5
Agora que temos a inclinação da reta perpendicular (-1/2) e sabemos que ela passa pelo ponto médio M(2, 2), podemos usar a fórmula da reta:
Onde (x₀, y₀) é o ponto pelo qual a reta passa e m é a inclinação.
Substituindo esses valores:
Distribuindo o -1/2:
Agora, isolando y:
Resposta
A equação da reta perpendicular ao segmento AB e que passa pelo seu ponto médio é:
c) $ y = -\frac{1}{2}x + 3 $