Dado o segmento de reta AB com A(1, 0) e B(3, 4), determine a equação da reta que é perpendicular ao segmento AB e passa pelo seu ponto médio.
a) y = - x + 3
b) y = 1x/2 + 4
c) y = - 1x/2 + 3
d) y = 2x/3 + 1/3

Passo 1

Então, a gente tem um segmento de reta AB onde o ponto A está em (1, 0) e o ponto B em (3, 4). O desafio aqui é encontrar a equação da reta que é perpendicular a esse segmento AB e que passa pelo ponto médio de AB. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como calcular o ponto médio, determinar o coeficiente angular (ou inclinação) da reta AB e depois encontrar a inclinação da reta perpendicular. Também vamos aplicar a fórmula da reta para chegar à equação final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do segmento AB. O ponto médio (M) de dois pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) é calculado pela fórmula:
M(x1 + x22, y1 + y22)
Substituindo os valores de A e B:
M(1 + 32, 0 + 42) = M(42, 42) = M(2, 2)
Então, o ponto médio é (2, 2).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da reta AB. A inclinação (m) entre dois pontos é dada por:
m = y2 - y1x2 - x1
Para os pontos A(1, 0) e B(3, 4):
mAB = 4 - 03 - 1 = 42 = 2
Então, a inclinação da reta AB é 2.

Passo 4

Como queremos uma reta perpendicular à AB, precisamos do coeficiente angular dessa nova reta. Retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos recíprocos. Isso significa que:
mperp = -1mAB = -12
Portanto, a inclinação da reta perpendicular é -1/2.

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta perpendicular (-1/2) e sabemos que ela passa pelo ponto médio M(2, 2), podemos usar a fórmula da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Onde (x₀, y₀) é o ponto pelo qual a reta passa e m é a inclinação.
Substituindo esses valores:
y - 2 = -12(x - 2)
Distribuindo o -1/2:
y - 2 = -12x + 1
Agora, isolando y:
y = -12x + 1 + 2
y = -12x + 3

Resposta

A equação da reta perpendicular ao segmento AB e que passa pelo seu ponto médio é:
c) $ y = -\frac{1}{2}x + 3 $

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