Uma fábrica produz x unidades de um certo produto por 500–x reais a unidade. Cada unidade deste produto tem um custo de R$ 100,00 e há, ainda, uma despesa fixa de R$ 10.000,00. Lucro é a diferença entre o preço de venda e o de custo.
A) Escreva o lucro L dessa fábrica como uma função de x
B) De quantos reais será o lucro quando a fábrica vende 100 produtos?
C) Quantos produtos deverão ser vendidos para que o lucro seja de R$ 30.000,00?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma fábrica que produz um certo produto. Queremos calcular o lucro dela com base em algumas informações:
  • Matéria: Funções de lucro.
  • O que vamos precisar: Entender como montar a função do lucro e aplicar isso para calcular valores específicos.

Passo 2

A) Escreva o lucro L dessa fábrica como uma função de x
Primeiro, vamos entender as partes que compõem o lucro:
  • Receita ®: É o dinheiro que a fábrica ganha vendendo os produtos. Se ela vende x unidades a (500 - x) reais cada, a receita é: R(x) = x times (500 - x)
  • Custo ©: É o que a fábrica gasta para produzir os produtos. Tem dois componentes:
    • Custo variável: R$ 100 por unidade, então: 100 por unidade, então: á
    • Despesa fixa: R$ 10.000,00, que não depende de x. Cvariável(x) = 100x
    Então, o custo total é: - Despesa fixa: R
  • Lucro (L): É a diferença entre a receita e o custo: Cfixo = 10000 Simplificando: C(x) = 100x + 10000

Passo 3

B) De quantos reais será o lucro quando a fábrica vende 100 produtos?
Agora que temos a função do lucro:
L(x) = -x^2 + 400x - 10000
Vamos substituir x por 100:
L(100) = -(100)^2 + 400 times 100 - 10000
Calculando passo a passo:
L(100) = -10000 + 40000 - 10000 = 20000
Então, o lucro será de R$ 20.000,00.

Passo 4

C) Quantos produtos deverão ser vendidos para que o lucro seja de R$ 30.000,00?
Queremos encontrar x tal que:
30.000,00?** Queremos encontrar x tal que:
Substituindo na função:
L(x) = 30000
Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
Substituindo na função:
Multiplicando por -1 para facilitar:
- x^2 + 400x - 10000 = 30000
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Vamos <=var todos os termos para um lado da equação:
Calculando o discriminante:
- x^2 + 400x - 40000 = 0
Então:
Mu
Portanto, a fábrica precisa vender 200 produtos para ter um lucro de R$ 30.000,00.

Resposta

A) $ L(x) = -x^2 + 400x - 10000 $
B) R$ 20.000,00
C) 200 produtos

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