Uma fábrica produz x unidades de um certo produto por 500–x reais a unidade. Cada unidade deste produto tem um custo de R$ 100,00 e há, ainda, uma despesa fixa de R$ 10.000,00. Lucro é a diferença entre o preço de venda e o de custo.
A) Escreva o lucro L dessa fábrica como uma função de x
B) De quantos reais será o lucro quando a fábrica vende 100 produtos?
C) Quantos produtos deverão ser vendidos para que o lucro seja de R$ 30.000,00?
A) Escreva o lucro L dessa fábrica como uma função de x
B) De quantos reais será o lucro quando a fábrica vende 100 produtos?
C) Quantos produtos deverão ser vendidos para que o lucro seja de R$ 30.000,00?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma fábrica que produz um certo produto. Queremos calcular o lucro dela com base em algumas informações:
- Matéria: Funções de lucro.
- O que vamos precisar: Entender como montar a função do lucro e aplicar isso para calcular valores específicos.
Passo 2
A) Escreva o lucro L dessa fábrica como uma função de x
Primeiro, vamos entender as partes que compõem o lucro:
- Receita ®: É o dinheiro que a fábrica ganha vendendo os produtos. Se ela vende x unidades a (500 - x) reais cada, a receita é:
- Custo ©: É o que a fábrica gasta para produzir os produtos. Tem dois componentes:
- Custo variável: R$ 100 por unidade, então:
- Despesa fixa: R$ 10.000,00, que não depende de x.
- Custo variável: R$ 100 por unidade, então:
- Lucro (L): É a diferença entre a receita e o custo:
Simplificando:
Passo 3
B) De quantos reais será o lucro quando a fábrica vende 100 produtos?
Agora que temos a função do lucro:
Vamos substituir x por 100:
Calculando passo a passo:
Então, o lucro será de R$ 20.000,00.
Passo 4
C) Quantos produtos deverão ser vendidos para que o lucro seja de R$ 30.000,00?
Queremos encontrar x tal que:
Substituindo na função:
Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Portanto, a fábrica precisa vender 200 produtos para ter um lucro de R$ 30.000,00.
Resposta
A) $ L(x) = -x^2 + 400x - 10000 $
B) R$ 20.000,00
C) 200 produtos
B) R$ 20.000,00
C) 200 produtos