1. A área da secção meridiana de um cilindro circular reto é de 60 \mathrm{~cm}^{2}. Sabendo que a área total é de 78 \pi \mathrm{~cm}^{2}, determine o raio.
  2. Um cilindro reto tem 10 cm de altura, a área lateral é igual a área da base. Calcular:
    a) a área lateral;
    b) a área da secção meridiana.

Passo 1

O enunciado tem duas questões. Vou listar o que cada uma pede e os dados fornecidos.
Primeira questão:
  • Pede: determinar o raio.
  • Dados: a área da secção meridiana é 60\\ \mathrm{cm}^2 e a área total do cilindro é 78\pi\\ \mathrm{cm}^2.
Segunda questão:
  • Pede: (a) a área lateral e (b) a área da secção meridiana.
  • Dados: altura 10\\ \mathrm{cm} e a informação de que a área lateral é igual à área da base.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos lembrar e explicar as fórmulas que vamos usar (dou a explicação de forma bem direta, como se estivéssemos juntos resolvendo na prova).
  • Um cilindro circular reto tem raio r e altura h.
  • Área da base (uma base circular): \text{Área da base}=\pi r^2Á.
    Explicação: a base é um círculo; a área do círculo é \pi vezes o quadrado do raio.
  • Área lateral do cilindro: \text{Área lateral}=2\pi r hÁ.
    Explicação: a lateral é um retângulo “enrolado” cuja altura é h e cuja largura é a circunferência da base, 2\pi r. Então área = altura \times largura = h\cdot 2\pi r.
  • Área total do cilindro: \text{Área total}=\text{Área lateral}+2\cdot\text{Área da base}=2\pi r h + 2\pi r^2ÁÁÁ.
  • Secção meridiana: é a secção que passa pelo eixo do cilindro; ela é um retângulo de altura h e largura igual ao diâmetro 2r. Logo
    \text{Área da secção meridiana}= \text{(altura)}\times\text{(diâmetro)} = h\cdot 2r = 2 r hÁçãâ.
    Explicação: imaginar cortar o cilindro longitudinalmente; o perfil é um retângulo com base o diâmetro.
Agora que temos as fórmulas, aplicamos aos dados.

Passo 3

Resolvo a primeira questão (determinar o raio), usando os dados e as fórmulas acima.
Escrevo as duas equações que temos em termos de r e h.
Da secção meridiana: \;2 r h = 60\\ \mathrm{cm}^2.
Da área total (fornecida): \;2\pi r h + 2\pi r^2 = 78\pi\\ \mathrm{cm}^2.
Posso simplificar a segunda equação dividindo ambos os lados por \pi:
2 r h + 2 r^2 = 78.

Passo 4

Agora substituo a informação da secção meridiana (que é \;2 r h = 60) na equação da área total.
Da equação da área total temos:
2 r h + 2 r^2 = 78.
Substituindo 2 r h = 60 obtemos:
60 + 2 r^2 = 78.
Isolando r^2:
2 r^2 = 78 - 60 = 18,
r^2 = 9.
Como r>0, concluímos:
r = 3\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Agora vamos à segunda questão. Dados: h = 10\\ \mathrm{cm} e a condição “área lateral = área da base”. Traduzo isso em equação usando as fórmulas:
Área lateral: \;2\pi r h.
Área da base: \;\pi r^2.
Igualando:
2\pi r h = \pi r^2.

Passo 6

Simplifico a equação da Passo 5. Divido ambos os lados por \pi (não zero) e, assumindo r>0, também posso dividir por r. Isso nos dá:
2 h = r.
Substituo h=10\\ \mathrm{cm}:
r = 2\cdot 10 = 20\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Com o raio encontrado, calculo a área lateral pedida em (a).
Área lateral:
\text{Área lateral} = 2\pi r h.Á
Substituindo r=20\\ \mathrm{cm} e h=10\\ \mathrm{cm}:
\text{Área lateral} = 2\pi \cdot 20 \cdot 10 = 400\pi\\ \mathrm{cm}^2.Á
(Essa também confirma que a área da base é \pi r^2 = \pi\cdot 20^2 = 400\pi\\ \mathrm{cm}^2, como exigido.)

Passo 8

Agora calculo a área da secção meridiana pedida em (b).
Fórmula da secção meridiana:
\text{Área da secção meridiana} = 2 r h.Áçã
Substituindo r=20\\ \mathrm{cm} e h=10\\ \mathrm{cm}:
\text{Área da secção meridiana} = 2\cdot 20\cdot 10 = 400\\ \mathrm{cm}^2.Áçã

Resposta

1.\\ r=3\\ \mathrm{cm}\n
2a.\\ \text{Área lateral}=400\pi\\ \mathrm{cm}^2Á\n
2b.\\ \text{Área da secção meridiana}=400\\ \mathrm{cm}^2Áçã

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