- A área da secção meridiana de um cilindro circular reto é de
. Sabendo que a área total é de
, determine o raio.
- Um cilindro reto tem 10 cm de altura, a área lateral é igual a área da base. Calcular:
a) a área lateral;
b) a área da secção meridiana.
a) a área lateral;
b) a área da secção meridiana.
Passo 1
O enunciado tem duas questões. Vou listar o que cada uma pede e os dados fornecidos.
Primeira questão:
- Pede: determinar o raio.
- Dados: a área da secção meridiana é
e a área total do cilindro é .
Segunda questão:
- Pede: (a) a área lateral e (b) a área da secção meridiana.
- Dados: altura
e a informação de que a área lateral é igual à área da base.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos lembrar e explicar as fórmulas que vamos usar (dou a explicação de forma bem direta, como se estivéssemos juntos resolvendo na prova).
- Um cilindro circular reto tem raio
e altura . - Área da base (uma base circular):
.
Explicação: a base é um círculo; a área do círculo évezes o quadrado do raio. - Área lateral do cilindro:
.
Explicação: a lateral é um retângulo “enrolado” cuja altura ée cuja largura é a circunferência da base, . Então área = altura largura = . - Área total do cilindro:
. - Secção meridiana: é a secção que passa pelo eixo do cilindro; ela é um retângulo de altura
e largura igual ao diâmetro . Logo
.
Explicação: imaginar cortar o cilindro longitudinalmente; o perfil é um retângulo com base o diâmetro.
Agora que temos as fórmulas, aplicamos aos dados.
Passo 3
Resolvo a primeira questão (determinar o raio), usando os dados e as fórmulas acima.
Escrevo as duas equações que temos em termos de
e
.
Da secção meridiana:
Da área total (fornecida):
Posso simplificar a segunda equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora substituo a informação da secção meridiana (que é
) na equação da área total.
Da equação da área total temos:
Substituindo
obtemos:
Isolando
:
Como
, concluímos:
Passo 5
Agora vamos à segunda questão. Dados:
e a condição “área lateral = área da base”. Traduzo isso em equação usando as fórmulas:
Área lateral:
.
Área da base: .
Área da base:
Igualando:
Passo 6
Simplifico a equação da Passo 5. Divido ambos os lados por
(não zero) e, assumindo
, também posso dividir por
. Isso nos dá:
Substituo
:
Passo 7
Com o raio encontrado, calculo a área lateral pedida em (a).
Área lateral:
Substituindo
e
:
(Essa também confirma que a área da base é
, como exigido.)
Passo 8
Agora calculo a área da secção meridiana pedida em (b).
Fórmula da secção meridiana:
Substituindo
e
: