1. Seja um cilindro de revolução de volume V. Se quadruplicarmos a medida do raio da base e reduzirmos sua altura à metade, seu volume passa a ser
    a) 2 V
    b) 4 V
    c) 6 V
    d) 8 V

Passo 1

O enunciado diz: temos um cilindro de revolução com volume V. Alteramos o cilindro tornando o raio da base quatro vezes maior e reduzindo a altura à metade. A pergunta é: qual será o novo volume em relação a V? As alternativas são:
a) 2V
b) 4V
c) 6V
d) 8V
Informações dadas e pedidos:
  • Volume original do cilindro: V (valor simbólico).
  • Raio original: chamarei de r.
  • Altura original: chamarei de h.
  • Transformações: novo raio é quatro vezes o original; nova altura é metade da original.
  • Pedido: determinar o novo volume em função de V e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Fórmula do volume do cilindro: a primeira coisa que precisamos usar é a fórmula que dá o volume de um cilindro reto (cilindro de revolução). Essa fórmula é:
V = \pi r^{2} h
Explicando cada símbolo:
  • \pi é a constante pi (aprox. 3,1415\ldots), sempre presente porque a base é um círculo.
  • r é o raio da base do cilindro.
  • h é a altura do cilindro.
  • V é o volume resultante, a quantidade de espaço dentro do cilindro.
É importante entender que o volume depende do quadrado do raio ( r^{2}) e da altura ( h).

Passo 3

Definimos as grandezas originais:
  • raio original: r
  • altura original: h
  • volume original: pela fórmula,
V = \pi r^{2} h.
Aqui V é justamente o V do enunciado.

Passo 4

Agora aplicamos as transformações dadas no enunciado:
  • novo raio: \displaystyle r' = 4r (quadruplicamos o raio)
  • nova altura: \displaystyle h' = \frac{h}{2} (reduzimos a altura à metade)
Vou calcular o novo volume V' usando a mesma fórmula, só que com r' e h'.

Passo 5

Escrevendo o novo volume:
V' = \pi (r')^{2} h'.
Substituindo r' = 4r e h' = \dfrac{h}{2}:
V' = \pi (4r)^{2} \cdot \frac{h}{2}.

Passo 6

Faço as operações passo a passo:
  • Primeiro, (4r)^{2} = 4^{2} r^{2} = 16 r^{2}.
  • Então
V' = \pi \cdot 16 r^{2} \cdot \frac{h}{2}.
  • Multiplicando 16 por \dfrac{1}{2} 8. Assim
V' = \pi \cdot 8 r^{2} h.

Passo 7

Compare com o volume original \displaystyle V = \pi r^{2} h. Pelo que achamos,
V' = 8 \bigl(\pi r^{2} h\bigr) = 8V.
Ou seja, o novo volume é oito vezes o volume original.

Passo 8

Verificação numérica rápida (para dar confiança): se eu escolher r=1 e h=1, então V=\pi. Com r'=4 e h'=0{,}5 temos V'=\pi\cdot 16\cdot 0{,}5=8\pi, que é 8V. Confere.

Resposta

d) 8V

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