- Seja um cilindro de revolução de volume V. Se quadruplicarmos a medida do raio da base e reduzirmos sua altura à metade, seu volume passa a ser
a) 2 V
b) 4 V
c) 6 V
d) 8 V
a) 2 V
b) 4 V
c) 6 V
d) 8 V
Passo 1
O enunciado diz: temos um cilindro de revolução com volume
. Alteramos o cilindro tornando o raio da base quatro vezes maior e reduzindo a altura à metade. A pergunta é: qual será o novo volume em relação a
? As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Informações dadas e pedidos:
- Volume original do cilindro:
(valor simbólico). - Raio original: chamarei de
. - Altura original: chamarei de
. - Transformações: novo raio é quatro vezes o original; nova altura é metade da original.
- Pedido: determinar o novo volume em função de
e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Fórmula do volume do cilindro: a primeira coisa que precisamos usar é a fórmula que dá o volume de um cilindro reto (cilindro de revolução). Essa fórmula é:
Explicando cada símbolo:
-
é a constante pi (aprox. ), sempre presente porque a base é um círculo. -
é o raio da base do cilindro. -
é a altura do cilindro. -
é o volume resultante, a quantidade de espaço dentro do cilindro.
É importante entender que o volume depende do quadrado do raio (
) e da altura (
).
Passo 3
Definimos as grandezas originais:
- raio original:
- altura original:
- volume original: pela fórmula,
Aqui
é justamente o
do enunciado.
Passo 4
Agora aplicamos as transformações dadas no enunciado:
- novo raio:
(quadruplicamos o raio) - nova altura:
(reduzimos a altura à metade)
Vou calcular o novo volume
usando a mesma fórmula, só que com
e
.
Passo 5
Escrevendo o novo volume:
Substituindo
e
:
Passo 6
Faço as operações passo a passo:
- Primeiro,
. - Então
- Multiplicando
por dá . Assim
Passo 7
Compare com o volume original
. Pelo que achamos,
Ou seja, o novo volume é oito vezes o volume original.
Passo 8
Verificação numérica rápida (para dar confiança): se eu escolher
e
, então
. Com
e
temos
, que é
. Confere.
Resposta
d)