1. A secção meridiana de um cilindro equilátero tem 64 \mathrm{~cm}^{2} de área. O volume do cilindro é
    a) 32 \pi \mathrm{~cm}^{3}
    b) 48 \pi \mathrm{~cm}^{3}
    c) 64 \pi \mathrm{~cm}^{3}
    d) 108 \pi \mathrm{~cm}^{3}

Passo 1

O enunciado diz que a secção meridiana de um cilindro equilátero tem 64\\ \mathrm{cm}^2 de área e pede o volume do cilindro.
Informações relevantes dadas:
\text{Área da secção meridiana} = 64\\ \mathrm{cm}^2.Áçã
\text{O sólido é um cilindro equilátero.}óéá
A pergunta é: qual é o volume do cilindro (em \mathrm{cm}^3)?

Passo 2

Primeiro vamos entender o que é a secção meridiana de um cilindro e como ela se relaciona com o raio e a altura. A secção meridiana é a interseção do cilindro com um plano que contém o eixo do cilindro. Para um cilindro reto, essa secção é um retângulo cujos lados são a altura h do cilindro e o diâmetro da base 2r. Logo, a área da secção meridiana é dada por
\text{Área}_{\text{meridiana}} = 2r\cdot h.Á
Expliquei isso devagar: o “lado vertical” do retângulo é a altura h e o “lado horizontal” é o diâmetro 2r, por isso multiplicamos 2r por h.

Passo 3

Agora, o que significa “cilindro equilátero”? Em geometria, um cilindro equilátero costuma ser definido como aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base. Ou seja,
h = 2r.
Essa igualdade é fundamental e vai simplificar bastante as contas — é o ponto chave do problema.

Passo 4

Usemos a informação da área da secção meridiana. Pelo que vimos,
\text{Área}_{\text{meridiana}} = 2r\cdot h.Á
Substituindo h=2r (porque o cilindro é equilátero) obtemos
\text{Área}_{\text{meridiana}} = 2r\cdot(2r) = 4r^2.Á
Pelo enunciado, essa área vale 64\\ \mathrm{cm}^2, então
4r^2 = 64.

Passo 5

Agora resolvemos a equação para r. Dividindo ambos os lados por 4,
r^2 = \frac{64}{4} = 16.
Tomando a raiz quadrada positiva (raio é positivo),
r = 4\\ \mathrm{cm}.
Aqui explico: sempre pegamos a raiz positiva porque raio não pode ser negativo.

Passo 6

Com o raio encontrado, calculamos a altura usando h=2r:
h = 2\cdot 4 = 8\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Agora precisamos da fórmula do volume do cilindro. O volume de um cilindro reto é dado por
V = (\text{área da base})\times(\text{altura}) = \pi r^2 \cdot h.á
Explicando: a base é um círculo de raio r, cuja área é \pi r^2; multiplicando pela altura h obtemos o volume.

Passo 8

Substituímos os valores r=4 e h=8 na fórmula do volume:
V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 16 \cdot 8.
Fazendo a conta 16\cdot 8 = 128, obtemos
V = 128\pi\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 9

Verifiquei os passos: a secção meridiana foi usada como retângulo 2r\times h, usei a definição de cilindro equilátero h=2r, resolvi para r e calculei o volume com a fórmula padrão. O resultado final é consistente com todas as igualdades usadas.

Resposta

128\pi\\ \mathrm{cm}^3

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