A área superficial do corpo humano é dada pela expressão
Em que
e
(cm) são, respectivamente, a massa e a altura da pessoa. No momento, certa criança possui 34 kg e tem 1 m e 20 cm de altura.
a) Calcule as derivadas parciais
e
e interprete-as como taxas de variação
a) Calcule as derivadas parciais
Passo 1
Neste exercício temos a área superficial do corpo humano dada por A(W,H)=0,0072·W{0,425}·H{0,725}, onde W é o peso em kg e H a altura em cm. Precisamos calcular as derivadas parciais A_W(34,120) e A_H(34,120) e interpretar seu significado como taxas de variação.
Passo 2
Para obter A_W fazemos a diferenciação parcial em relação a W, tratando H como constante. Usamos a regra de potência: se f(W)=W^a, então f’(W)=a·W^{a-1}. Assim,
Passo 3
Análogo para A_H, diferenciando em relação a H e mantendo W constante:
Passo 4
Agora substituímos W=34 e H=120 e calculamos numericamente cada derivada:
- Para A_W(34,120):
- Para A_H(34,120):
Passo 5
As unidades são m² por kg para A_W e m² por cm para A_H.
Passo 6
Interpretando, em (34 kg,120 cm) um aumento de 1 kg no peso, mantendo a altura fixa, aumenta a área em cerca de 0,013 m²; e um aumento de 1 cm na altura, com peso fixo, aumenta a área em cerca de 0,0063 m².