A área superficial do corpo humano é dada pela expressão
A(W, H)=0,0072 W^0,425 H^0,725
Em que W(kg) e H (cm) são, respectivamente, a massa e a altura da pessoa. No momento, certa criança possui 34 kg e tem 1 m e 20 cm de altura.
a) Calcule as derivadas parciais AW(34,120) e AH(34,120) e interprete-as como taxas de variação

Passo 1

Neste exercício temos a área superficial do corpo humano dada por A(W,H)=0,0072·W{0,425}·H{0,725}, onde W é o peso em kg e H a altura em cm. Precisamos calcular as derivadas parciais A_W(34,120) e A_H(34,120) e interpretar seu significado como taxas de variação.

Passo 2

Para obter A_W fazemos a diferenciação parcial em relação a W, tratando H como constante. Usamos a regra de potência: se f(W)=W^a, então f’(W)=a·W^{a-1}. Assim,
AW(W,H)=0,0072cdot0,425,W^0,425-1,H^0,725=0,0072cdot0,425,W^-0,575,H^0,725

Passo 3

Análogo para A_H, diferenciando em relação a H e mantendo W constante:
AH(W,H)=0,0072cdot0,725,W^0,425,H^0,725-1=0,0072cdot0,725,W^0,425,H^-0,275

Passo 4

Agora substituímos W=34 e H=120 e calculamos numericamente cada derivada:
  • Para A_W(34,120):
AW(34,120)=0,0072cdot0,425cdot34^-0,575cdot120^0,725approx0,013,
  • Para A_H(34,120):
AH(34,120)=0,0072cdot0,725cdot34^0,425cdot120^-0,275approx0,0063,

Passo 5

As unidades são m² por kg para A_W e m² por cm para A_H.

Passo 6

Interpretando, em (34 kg,120 cm) um aumento de 1 kg no peso, mantendo a altura fixa, aumenta a área em cerca de 0,013 m²; e um aumento de 1 cm na altura, com peso fixo, aumenta a área em cerca de 0,0063 m².

Resposta

AW(34,120)approx0.013,m^2/kg e AH(34,120)approx0.0063,m^2/cm.

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