A área de uma superfície retangular é 18 m^2. Sabendo que em seu interior há outra superfície tal que as margens superiores e inferiores são de 3 / 4 m e que as margens laterais são de 1 / 2 m, achar as dimensões da superfície exterior para que área compreendida entre as margens seja máxima. Resposta: 2 raiz3 m e 3 raiz3 m.

Passo 1

O enunciado pede que, numa placa retangular de área fixa de 18 m², inserimos margens superior e inferior de 3/4 m e margens laterais de 1/2 m e queremos maximizar a área do “cinturão” formado entre a borda externa e a borda interna. O conteúdo é um problema de otimização com restrição de área e usaremos cálculo de derivadas para achar o ótimo.

Passo 2

Seja x e y as dimensões da superfície exterior, com restrição de área
xy = 18
As margens laterais consomem 1 m no total (0,5 m de cada lado) e as margens verticalmente consomem 3/2 m (3/4 m em cima e embaixo). Então a superfície interna tem dimensões x−1 e y−3/2. A área interna é
A extint(x,y) = (x-1)igl(y- frac32igr) 
e a área entre margens é
A extext - A extint = 18 - (x-1)igl(y- frac32igr) 

Passo 3

Para eliminar y, use y = 18/x na expressão de A_{int} e defina f(x) = (x−1)(18/x−3/2). Assim,
f(x) = (x-1)igl(18x - 32r) = 18 - 18x - 32x + 32 = 392 - 32x - 18x 

Passo 4

Para encontrar o mínimo da área interna (que maximiza a externo), compute a derivada e iguale a zero:
f'(x) = -tfrac32 + 18x^2 = 0
Logo,
18x^2 = 32 implies x^2 = 12 implies x = 2raiz3

Passo 5

Finalmente, usando xy = 18, obtemos
y = 182raiz3 = 3raiz3
Essas dimensões satisfazem x>1 e y>3/2, garantindo que as margens existam.

Resposta

As dimensões da superfície exterior são 2raiz3,m e 3raiz3,m.

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