A área de uma superfície retangular é
. Sabendo que em seu interior há outra superfície tal que as margens superiores e inferiores são de
e que as margens laterais são de
, achar as dimensões da superfície exterior para que área compreendida entre as margens seja máxima. Resposta:
e
.
Passo 1
O enunciado pede que, numa placa retangular de área fixa de 18 m², inserimos margens superior e inferior de 3/4 m e margens laterais de 1/2 m e queremos maximizar a área do “cinturão” formado entre a borda externa e a borda interna. O conteúdo é um problema de otimização com restrição de área e usaremos cálculo de derivadas para achar o ótimo.
Passo 2
Seja x e y as dimensões da superfície exterior, com restrição de área
As margens laterais consomem 1 m no total (0,5 m de cada lado) e as margens verticalmente consomem 3/2 m (3/4 m em cima e embaixo). Então a superfície interna tem dimensões x−1 e y−3/2. A área interna é
e a área entre margens é
Passo 3
Para eliminar y, use y = 18/x na expressão de A_{int} e defina f(x) = (x−1)(18/x−3/2). Assim,
Passo 4
Para encontrar o mínimo da área interna (que maximiza a externo), compute a derivada e iguale a zero:
Logo,
Passo 5
Finalmente, usando xy = 18, obtemos
Essas dimensões satisfazem x>1 e y>3/2, garantindo que as margens existam.
Resposta
As dimensões da superfície exterior são
e
.