Lembramos que para todo
temos
. Lembramos também que para todo
temos
e
. Calcular as somas seguintes dentro dos seus domínios de convergência e achar o raio de convergência :
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, dentro do domínio de convergência, a soma da série
e o seu raio de convergência. Vamos usar resultados clássicos de séries potenciais para resolver.
Passo 2
Vamos lembrar das séries conhecidas para
:
- Série geométrica:
- Diferenciando com respeito a
obtemos:
- Diferenciando novamente:
Passo 3
Agora escrevemos a série que nos interessa como combinação linear dessas séries:
Passo 4
Substituindo as fórmulas conhecidas:
Vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador
:
Passo 5
Agora basta expandir e simplificar o numerador:
Somando tudo:
Logo a soma fica:
Passo 6
Para o raio de convergência, basta notar que usamos as séries geométrica e suas derivações, todas válidas para
. Pelo critério da razão ou pelo domínio dessas séries, o raio de convergência é
.