Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=0^+infty x^n=11-x. Lembramos também que para todo x in R temos sumn=0^+infty x^nn!=e^x, sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=cos x e sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!=sen x. Calcular as somas seguintes dentro dos seus domínios de convergência e achar o raio de convergência :
;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, dentro do domínio de convergência, a soma da série sumn=0^+infty(n^2-2n-2)x^n e o seu raio de convergência. Vamos usar resultados clássicos de séries potenciais para resolver.

Passo 2

Vamos lembrar das séries conhecidas para |x|<1:
  • Série geométrica:
sumn=0^+inftyx^n=11-x
  • Diferenciando com respeito a x obtemos:
sumn=1^+inftyn x^n-1=1(1-x)^2 Longrightarrow sumn=0^+inftyn x^n=x(1-x)^2
  • Diferenciando novamente:
sumn=1^+inftyn^2 x^n-1=1+x(1-x)^3 Longrightarrow sumn=0^+inftyn^2 x^n=x(1+x)(1-x)^3

Passo 3

Agora escrevemos a série que nos interessa como combinação linear dessas séries:
sumn=0^+infty(n^2-2n-2)x^n =sumn=0^+inftyn^2x^n -2sumn=0^+inftyn x^n -2sumn=0^+inftyx^n

Passo 4

Substituindo as fórmulas conhecidas:
sumn=0^+infty(n^2-2n-2)x^n =x(1+x)(1-x)^3-2cdotx(1-x)^2-2cdot11-x
Vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador (1-x)^3):
x(1+x)-2x(1-x)-2(1-x)^2(1-x)^3

Passo 5

Agora basta expandir e simplificar o numerador:
x(1+x)=x+x^2, -2x(1-x)=-2x+2x^2, -2(1-x)^2=-2(1-2x+x^2)=-2+4x-2x^2
Somando tudo:
x+x^2-2x+2x^2-2+4x-2x^2=x^2+3x-2
Logo a soma fica:
sumn=0^+infty(n^2-2n-2)x^n=x^2+3x-2(1-x)^3

Passo 6

Para o raio de convergência, basta notar que usamos as séries geométrica e suas derivações, todas válidas para |x|<1. Pelo critério da razão ou pelo domínio dessas séries, o raio de convergência é R=1.

Resposta

sumn=0^+infty(n^2-2n-2)x^n=x^2+3x-2(1-x)^3, R=1

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