1. Achar dois números positivos cuja soma seja 20 e (a) seu produto seja máximo, (b) a soma dos quadrados seja mínima, © o produto do quadrado de um deles pelo cubo do outro seja máximo. Respostas: (a) 10, 10; (b) 10, 10; © 8, 12.

Passo 1

O enunciado pede dois números positivos x e y tais que x+y=20. Os itens são: (a) maximizar o produto xy, (b) minimizar a soma dos quadrados x²+y² e © maximizar x²·y³. O conteúdo principal é cálculo de extremos de funções com restrição, usando derivadas e substituindo y por 20−x para ficar tudo em função de uma variável.

Passo 2

Para reduzir cada problema a uma variável, usamos y=20−x e trabalhamos com x em (0,20). A ideia é definir uma função f(x) representando o que queremos extremizar, calcular f′(x), achar os críticos f′(x)=0 e verificar se são máximo ou mínimo, usando a segunda derivada ou o comportamento nos extremos do intervalo.

Passo 3

(a) Definimos o produto P(x)=x·y=x(20−x).
Calculando a derivada temos
P'(x)=20−2x
Igualando a zero: 20−2x=0 ⇒ x=10. Logo y=20−10=10. Como P’’(x)=−2<0, é máximo.

Passo 4

(b) Definimos a soma dos quadrados S(x)=x²+(20−x)².
A derivada é
S'(x)=2x−2(20−x)=4x−40
Igualando a zero: 4x−40=0 ⇒ x=10 e y=20−10=10. Aqui S’’(x)=4>0, confirmando mínimo.

Passo 5

© Queremos maximizar f(x)=x²·y³=x²(20−x)³. Em vez de derivar o produto, usamos derivada logarítmica:
f'(x)f(x)=ddx[2ln x+3ln(20−x)]=2x−320−x
Igualando a zero: 2/x−3/(20−x)=0 ⇒ 2(20−x)=3x ⇒ 40−2x=3x ⇒ 5x=40 ⇒ x=8 e y=20−8=12. Como em x=0 ou x=20 a função vale zero, esse ponto é o máximo.

Resposta

(a) 10, 10; (b) 10, 10; © 8, 12.

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