Qual a área total de um cubo inscrito em uma esfera de raio r=\sqrt{3} \mathrm{~cm} ?
a) 16 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
b) 24 \mathrm{~cm}^{2}
c) 20 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
d) 32 \mathrm{~cm}^{2}
e) 36 \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área total de um cubo inscrito numa esfera de raio r=\sqrt{3}\,\mathrm{cm}. O que precisamos usar é que, num cubo inscrito, a diagonal espacial do cubo coincide com o diâmetro da esfera.

Passo 2

Seja a a aresta do cubo. A diagonal espacial do cubo vale a\sqrt{3} e esse valor deve ser igual ao diâmetro da esfera, que é 2r. Logo,
a\sqrt{3}=2r.

Passo 3

Substituindo r=\sqrt{3} na relação anterior, temos
a\sqrt{3}=2\sqrt{3}
e, dividindo ambos os lados por \sqrt{3}, obtemos
a=2\,.

Passo 4

A área total de um cubo de aresta a é
6a^{2}.
Como a=2, vem
6\cdot 2^{2}=6\cdot 4=24\,\mathrm{cm}^{2}.

Resposta

b) 24\\ \mathrm{cm}^{2}

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