Assinale a alternativa INCORRETA:
a) |x|-|y| \leq|x-y|, \forall x, y \in I R.
b) Existem apenas quatro números inteiros que satisfazem a inequação 3 \leq|2 x-3|<6.
c) A função f: I R^{*} \rightarrow I R^{*} dada por f(x)=\frac{1}{x} é bijetora.
d) Se f(x)=2 x-3 e (g \circ f)(x)=2 x^{2}-4 x+1, então g(x)=\frac{x^{2}+2 x-1}{2}.
e) Se dois números reais positivos têm soma igual a 20, entäo o produto máximo deles é igual a 105.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a alternativa falsa entre cinco afirmações que envolvem desigualdades absolutas, solução de inequação em inteiros, bijeção de função recíproca, composição de funções e otimização de produto de reais. Para resolver vamos verificar cada item um a um, usando as propriedades de valor absoluto, métodos de solução de inequações, definição de bijeção, composição de funções e o fato de que, para soma fixa, o produto de dois positivos é máximo quando eles são iguais.

Passo 2

Verificamos a alternativa (a):
Usamos a desigualdade triangular no formato
|x| = |(x-y)+y|\le |x-y| + |y|
que implica imediatamente
|x| - |y| \le |x-y|.
Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisamos a alternativa (b):
Resolvemos
3 \le |2x-3| < 6.
Isso equivale a dois casos:
  1. 2x-3\ge0:
3 \le 2x-3 <6\implies 6\le 2x<9\implies 3\le x<4{,}5
inteiros x são 3,4.
  1. 2x-3<0:
3 \le 3-2x <6\implies x\le0\quad\text{e}\quad x>-1{,}5
inteiros x são -1,0.
No total há exatamente quatro inteiros -1,0,3,4, então (b) é verdadeira.

Passo 4

Para a alternativa (c), a função
f\colon \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*,\quad f(x)=\frac1x
é injetora pois \tfrac1{x_1}=\tfrac1{x_2} implica x_1=x_2, e é sobrejetora pois, dado qualquer y\in\mathbb{R}^*, existe x=1/y tal que f(x)=y. Logo f é bijetora e (c) é verdadeira.

Passo 5

Na alternativa (d) temos f(x)=2x-3 e
(g\circ f)(x)=g(2x-3)=2x^2-4x+1.
Colocando t=2x-3 e resolvendo para g(t):
x=\frac{t+3}{2}\quad\implies\quad g(t)=2\Bigl(\frac{t+3}{2}\Bigr)^2-4\Bigl(\frac{t+3}{2}\Bigr)+1 =\frac{t^2+2t-1}{2}.
Isso coincide com a fórmula dada, então (d) é verdadeira.

Passo 6

Na alternativa (e) diz-se que, para dois reais positivos de soma 20, o produto máximo é 105. Pelo Princípio de AM–GM, para x,y>0 com x+y=20 o produto P=xy é máximo quando x=y=10, resultando em
P_{\max}=10\cdot10=100.
Portanto afirmar que o máximo é 105 é incorreto.

Resposta

e) Se dois números reais positivos têm soma igual a 20, então o produto máximo deles é igual a 105.

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