Assinale a alternativa INCORRETA:
a)
.
b) Existem apenas quatro números inteiros que satisfazem a inequação
.
c) A função
dada por
é bijetora.
d) Se
e
, então
.
e) Se dois números reais positivos têm soma igual a 20, entäo o produto máximo deles é igual a 105.
a)
b) Existem apenas quatro números inteiros que satisfazem a inequação
c) A função
d) Se
e) Se dois números reais positivos têm soma igual a 20, entäo o produto máximo deles é igual a 105.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a alternativa falsa entre cinco afirmações que envolvem desigualdades absolutas, solução de inequação em inteiros, bijeção de função recíproca, composição de funções e otimização de produto de reais. Para resolver vamos verificar cada item um a um, usando as propriedades de valor absoluto, métodos de solução de inequações, definição de bijeção, composição de funções e o fato de que, para soma fixa, o produto de dois positivos é máximo quando eles são iguais.
Passo 2
Verificamos a alternativa (a):
Usamos a desigualdade triangular no formato
Usamos a desigualdade triangular no formato
que implica imediatamente
Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisamos a alternativa (b):
Resolvemos
Resolvemos
Isso equivale a dois casos:
-
:
inteiros
são
.
-
:
inteiros
são
.
No total há exatamente quatro inteiros
, então (b) é verdadeira.
Passo 4
Para a alternativa (c), a função
é injetora pois
implica
, e é sobrejetora pois, dado qualquer
, existe
tal que
. Logo
é bijetora e (c) é verdadeira.
Passo 5
Na alternativa (d) temos
e
Colocando
e resolvendo para
:
Isso coincide com a fórmula dada, então (d) é verdadeira.
Passo 6
Na alternativa (e) diz-se que, para dois reais positivos de soma
, o produto máximo é
. Pelo Princípio de AM–GM, para
com
o produto
é máximo quando
, resultando em
Portanto afirmar que o máximo é
é incorreto.
Resposta
e) Se dois números reais positivos têm soma igual a
, então o produto máximo deles é igual a
.