Seja A B C um triângulo retângulo em A. Sabendo que o ângulo C mede 30^{\circ} e que a bissetriz interna do ângulo B é igual a 6 cm , qual o perímetro do triângulo A B C, e m \mathrm{~cm} ?
a) 9 \sqrt{3}+3.
b) 9 \sqrt{3}+6.
c) 9 \sqrt{3}+9.
d) 9 \sqrt{3}+12.
e) 9 \sqrt{3}+15.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC retângulo em A, com \angle C=30^\circ e \angle B=60^\circ, e diz que a bissetriz interna de \angle B mede 6 cm. Queremos o perímetro P=AB+BC+CA.

Passo 2

Em todo triângulo retângulo, se chamarmos a=BC (hipotenusa), b=CA e c=AB (catetos), vale pelas razões trigonométricas:
b = a\sin\!B,\quad c = a\sin\!C.

Passo 3

Como B=60^\circ e C=30^\circ, temos
b = a\sin60^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}\,a, \qquad c = a\sin30^\circ = \tfrac12\,a.

Passo 4

O perímetro é
P = a + b + c = a + \tfrac{\sqrt3}{2}a + \tfrac12a = \frac{3+\sqrt3}{2}\,a.

Passo 5

A fórmula do comprimento da bissetriz interna de um ângulo B é
d_B^2 = a\,c\Bigl[1 - \frac{b^2}{(a+c)^2}\Bigr].
Aqui d_B=6.

Passo 6

Substituindo b=\tfrac{\sqrt3}{2}a e c=\tfrac12a:
d_B^2 = a\cdot\frac a2\Bigl[1 - \frac{\bigl(\frac{\sqrt3}{2}a\bigr)^2}{\bigl(a+\frac a2\bigr)^2}\Bigr] = \frac{a^2}{2}\Bigl[1 - \frac{\frac34\,a^2}{\frac{9}{4}\,a^2}\Bigr] = \frac{a^2}{2}\Bigl(1 - \tfrac13\Bigr) = \frac{a^2}{3}.
Logo d_B = \tfrac{a}{\sqrt3}.

Passo 7

Como d_B=6, temos
\frac{a}{\sqrt3} = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = 6\sqrt3.

Passo 8

Então
b = \tfrac{\sqrt3}{2}\,6\sqrt3 = 9, \qquad c = \tfrac12\,6\sqrt3 = 3\sqrt3,
e o perímetro
P = a + b + c = 6\sqrt3 + 9 + 3\sqrt3 = 9\sqrt3 + 9.

Resposta

9\sqrt{3}+9.

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