Classifique os itens abaixo em verdadeiro ( V ) ou falso ( F ) e identifique a alternativa CORRETA:
( ) A hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujo perímetro é igual a 2 cm mede 2(\sqrt{2}-1) \mathrm{cm}.
( ) Se um triângulo tem 12 cm de perímetro e 6 \mathrm{~cm}^{2} de área, então o círculo inscrito neste triângulo tem área igual a \pi \mathrm{cm}^{2}.
( ) Se de cada uma das quatro pontas de um tetraedro regular de aresta 3 cm corta-se um tetraedro regular de aresta 1 cm , então a área total da superficie do poliedro resultante é 7 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}.
a) F F V.
b) V F V.
c) V V F.
d) V V V.
e) $F V V.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiro ou falso três afirmações envolvendo: triângulo retângulo isósceles (perímetro e hipotenusa), triângulo qualquer (perímetro, área e círculo inscrito) e um tetraedro regular truncado (corte de tetraedros e área de superfície). Vamos usar fórmulas de geometria de triângulos (perímetro, razão entre catetos e hipotenusa), a relação do raio inscrito r = A/s com s semiperímetro, e cálculo de área de faces de tetraedro regular juntamente com o efeito dos cortes nos vértices.

Passo 2

Para a primeira afirmação, seja um triângulo retângulo isósceles de catetos x. Então a hipotenusa mede x\sqrt2 e o perímetro satisfaz
2x + x\sqrt2 = 2.
Daí
x(2+\sqrt2)=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{2}{2+\sqrt2}=2-\sqrt2.
Logo a hipotenusa é
x\sqrt2=(2-\sqrt2)\sqrt2=2\sqrt2-2=2(\sqrt2-1),
portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Para a segunda afirmação, num triângulo com perímetro 12 cm e área 6 cm ^2, o semiperímetro é
s=\frac{12}{2}=6.
O raio do círculo inscrito é
r=\frac{A}{s}=\frac{6}{6}=1\text{ cm},
logo sua área é
\pi r^2=\pi\cdot1^2=\pi\text{ cm}^2,
confirmando que a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Na terceira afirmação, o tetraedro regular de aresta 3 cm tem área de superfície inicial
A_{\text{inicial}}=\sqrt3\cdot3^2=9\sqrt3.
Em cada vértice corta-se um tetraedro de aresta 1 cm, removendo-se em três faces de cada vértice pequenos triângulos de área \tfrac{\sqrt3}{4} cada e criando-se uma nova face triangular de área \tfrac{\sqrt3}{4}. Assim, para cada vértice a variação de área é
-3\cdot\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{4}=-\frac{\sqrt3}{2},
e para quatro vértices a variação total é
4\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt3}{2}\Bigr)=-2\sqrt3.
Logo a área final fica
9\sqrt3-2\sqrt3=7\sqrt3,
o que torna a afirmação verdadeira.

Passo 5

Todas as três afirmações são verdadeiras, correspondendo à alternativa (d).

Resposta

d) V V V

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