A área total de superfície dos alvéolos pulmonares ( \mathrm{A}_{\text {alv }} ) de um mamífero escala com sua massa da forma \mathrm{A}_{\text {alv }} \propto \mathrm{M}^{0,9}. Como a demanda por oxigênio (que escala \operatorname{com} \mathrm{M}^{3 / 4} ) se compara com a capacidade de absorção de oxigênio (proporcional a \mathrm{A}_{\text {alv }} ) à medida que a massa M aumenta?

Passo 1

O enunciado dá duas informações de escala (potências) em relação à massa \mathrm{M}:
  • A área total dos alvéolos escala como \mathrm{A}_{\text{alv}} \propto \mathrm{M}^{0,9}.
  • A demanda por oxigênio escala como \mathrm{D} \propto \mathrm{M}^{\frac{3}{4}}.
    A pergunta é: como a demanda por oxigênio se compara com a capacidade de absorção de oxigênio (proporcional a \mathrm{A}_{\text{alv}}) quando \mathrm{M} aumenta? Ou seja, queremos saber qual cresce mais rápido com \mathrm{M} e em que proporção.

Passo 2

Para comparar duas quantidades que escalam com potência de \mathrm{M} é muito útil formar a razão “capacidade sobre demanda”. Isso nos diz como a capacidade disponível por unidade de demanda muda com \mathrm{M}. Definimos a razão
R \equiv \frac{\mathrm{A}_{\text{alv}}}{\mathrm{D}}.
Se \mathrm{A}_{\text{alv}} \propto \mathrm{M}^{a} e \mathrm{D} \propto \mathrm{M}^{b}, então a razão escala como \mathrm{M}^{a-b}. Aqui temos a=0,9 e b=\frac{3}{4}=0,75.

Passo 3

Aplicando a regra do passo anterior:
R \propto \frac{\mathrm{M}^{0,9}}{\mathrm{M}^{\frac{3}{4}}}=\mathrm{M}^{0,9-\frac{3}{4}}.
Agora calculamos a diferença dos expoentes:
0,9-\frac{3}{4}=0,9-0,75=0,15.
Se preferir a forma fracionária,
0,9=\frac{9}{10},\qquad \frac{3}{4}=\frac{15}{20},\qquad \frac{9}{10}-\frac{3}{4}=\frac{18}{20}-\frac{15}{20}=\frac{3}{20}.
Portanto a diferença é \frac{3}{20}=0,15, e
R \propto \mathrm{M}^{0,15}=\mathrm{M}^{\frac{3}{20}}.

Passo 4

Interpretação numérica e biológica: como o expoente em \mathrm{M}^{0,15} é positivo, a capacidade (área alveolar) cresce mais rápido com \mathrm{M} do que a demanda por oxigênio. Isso significa que, à medida que os animais ficam maiores, eles têm proporcionalmente mais área de troca de gases por unidade de demanda metabólica. Exemplos numéricos para intuir a escala: se dobrarmos a massa,
R \text{ aumenta por um fator } 2^{0,15}\approx 1,11,
ou seja, cerca de 11\% a mais de capacidade por demanda quando a massa dobra. Se a massa aumenta por um fator 10,
R \text{ aumenta por um fator } 10^{0,15}\approx 1,41,
ou seja, cerca de 41\% a mais de capacidade relativa para um aumento de massa de dez vezes. Biologicamente, isso sugere que animais maiores não ficam limitados pela área alveolar tão rapidamente quanto animais pequenos — pequenos têm maior demanda relativa por oxigênio em relação à sua área alveolar e, por isso, costumam ter estratégias (respiração mais rápida, metabolismo mais alto por massa, etc.) para suprir isso.

Passo 5

Resumo didático rápido: para comparar escalas use a razão (ou subtraia expoentes). Aqui a capacidade cresce como \mathrm{M}^{0,9} e a demanda como \mathrm{M}^{0,75}, então a capacidade cresce mais rápido e a razão capacidade/demanda cresce como \mathrm{M}^{0,15}. Isso é tudo que você precisa aplicar numa prova: formar a razão e comparar os expoentes — se a diferença for positiva, a capacidade aumenta relativamente; se negativa, a demanda aumenta relativamente.

Resposta

A capacidade (área alveolar) cresce mais rápido que a demanda; a razão capacidade/demanda escala como \mathrm{M}^{0,15}=\mathrm{M}^{\frac{3}{20}}, ou seja, a capacidade relativa aumenta com a massa.

Exercícios relacionados