A área total de superfície dos alvéolos pulmonares (
) de um mamífero escala com sua massa da forma
. Como a demanda por oxigênio (que escala
) se compara com a capacidade de absorção de oxigênio (proporcional a
) à medida que a massa M aumenta?
Passo 1
O enunciado dá duas informações de escala (potências) em relação à massa
:
- A área total dos alvéolos escala como
. - A demanda por oxigênio escala como
.
A pergunta é: como a demanda por oxigênio se compara com a capacidade de absorção de oxigênio (proporcional a) quando aumenta? Ou seja, queremos saber qual cresce mais rápido com e em que proporção.
Passo 2
Para comparar duas quantidades que escalam com potência de
é muito útil formar a razão “capacidade sobre demanda”. Isso nos diz como a capacidade disponível por unidade de demanda muda com
. Definimos a razão
Se
e
, então a razão escala como
. Aqui temos
e
.
Passo 3
Aplicando a regra do passo anterior:
Agora calculamos a diferença dos expoentes:
Se preferir a forma fracionária,
Portanto a diferença é
, e
Passo 4
Interpretação numérica e biológica: como o expoente em
é positivo, a capacidade (área alveolar) cresce mais rápido com
do que a demanda por oxigênio. Isso significa que, à medida que os animais ficam maiores, eles têm proporcionalmente mais área de troca de gases por unidade de demanda metabólica. Exemplos numéricos para intuir a escala: se dobrarmos a massa,
ou seja, cerca de
a mais de capacidade por demanda quando a massa dobra. Se a massa aumenta por um fator
,
ou seja, cerca de
a mais de capacidade relativa para um aumento de massa de dez vezes. Biologicamente, isso sugere que animais maiores não ficam limitados pela área alveolar tão rapidamente quanto animais pequenos — pequenos têm maior demanda relativa por oxigênio em relação à sua área alveolar e, por isso, costumam ter estratégias (respiração mais rápida, metabolismo mais alto por massa, etc.) para suprir isso.
Passo 5
Resumo didático rápido: para comparar escalas use a razão (ou subtraia expoentes). Aqui a capacidade cresce como
e a demanda como
, então a capacidade cresce mais rápido e a razão capacidade/demanda cresce como
. Isso é tudo que você precisa aplicar numa prova: formar a razão e comparar os expoentes — se a diferença for positiva, a capacidade aumenta relativamente; se negativa, a demanda aumenta relativamente.
Resposta
A capacidade (área alveolar) cresce mais rápido que a demanda; a razão capacidade/demanda escala como
, ou seja, a capacidade relativa aumenta com a massa.