Como a espessura da membrana biológica é, em grande parte, independente do tamanho do organismo, calcule a diferença na resistência de membrana total entre uma célula pequena e uma célula grande (esféricas).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferença na resistência de membrana total entre uma célula pequena e uma célula grande, assumindo que ambas são esféricas e que a espessura da membrana é (em grande parte) independente do tamanho do organismo. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A espessura da membrana é essencialmente constante entre as células.
  • As células são esféricas.
  • Queremos comparar a resistência de membrana total de uma célula pequena com a de uma célula grande (isto é, obter a diferença / razão entre as resistências).

Passo 2

Vamos entender fisicamente o que é a resistência de membrana total e como a espessura constante entra na conta. Pense na membrana como uma lâmina fina que conduz eletricidade com certa resistividade. A resistência elétrica de uma placa fina é dada por
R = \rho \,\frac{t}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (unidade: \Omega\cdotm),
  • t é a espessura da membrana (m),
  • A é a área da superfície atravessada pela corrente (m^2).
Como o problema diz que a espessura t é basicamente a mesma para células de tamanhos diferentes, o produto \rho\,t é a mesma constante para ambas as células. Definimos essa constante por uma forma útil usada em fisiologia:
R_m \equiv \rho\,t,
que se chama resistência específica por unidade de área da membrana (unidade: \Omega\cdotm^2). Assim a resistência total da membrana torna-se
R_{\text{mem}}=\frac{R_m}{A}.
Aqui R_m é o mesmo para as duas células porque \rho e t são assumidos iguais.

Passo 3

Agora usamos a geometria da esfera para escrever a área. Para uma esfera de raio r,
A = 4\pi r^2.
Substituindo em \,R_{\text{mem}}=\dfrac{R_m}{A}\, obtemos a expressão da resistência total da membrana de uma célula esférica em função do raio:
R_{\text{mem}}(r)=\frac{R_m}{4\pi r^2}.
Explicando as variáveis:
  • R_{\text{mem}}(r) é a resistência total da membrana da célula de raio r.
  • R_m é a resistência específica por área (constante entre as células).
  • r é o raio da célula.

Passo 4

Queremos a diferença/razão entre a resistência da célula pequena e da célula grande. Seja r_{\text{pequena}} o raio da célula pequena e r_{\text{grande}} o raio da célula grande. Aplicando a fórmula acima para cada uma:
R_{\text{pequena}}=\frac{R_m}{4\pi r_{\text{pequena}}^2}, \qquad R_{\text{grande}}=\frac{R_m}{4\pi r_{\text{grande}}^2}.
A razão entre as resistências é então
\frac{R_{\text{pequena}}}{R_{\text{grande}}} =\frac{\dfrac{R_m}{4\pi r_{\text{pequena}}^2}}{\dfrac{R_m}{4\pi r_{\text{grande}}^2}} =\frac{r_{\text{grande}}^2}{r_{\text{pequena}}^2} =\left(\frac{r_{\text{grande}}}{r_{\text{pequena}}}\right)^{\!2}.
Ou seja: a resistência total escala inversamente com a área da célula, e como a área de uma esfera cresce com r^2, a razão das resistências é o quadrado da razão dos raios.

Passo 5

Interpretação prática e exemplo numérico (para você ver como usar na prova): se a célula grande tem raio 10 vezes o da célula pequena, isto é \,r_{\text{grande}}=10\,r_{\text{pequena}}\,, então
\frac{R_{\text{pequena}}}{R_{\text{grande}}}=\left(\frac{10\,r_{\text{pequena}}}{r_{\text{pequena}}}\right)^2=10^2=100.
Isso quer dizer que a célula pequena tem 100 vezes mais resistência de membrana total do que a célula grande (quando as duas têm a mesma resistência específica R_m). Dica de prova: se te derem diâmetros em vez de raios, use r=d/2; a razão de raios é igual à razão de diâmetros, então a mesma fórmula vale.

Passo 6

Como usar isso rápido na prova:
  • Identifique que \,R_{\text{mem}} \propto 1/A e que para uma esfera A\propto r^2. Logo \,R_{\text{mem}}\propto 1/r^2.
  • Para comparar duas células, calcule \left(r_{\text{grande}}/r_{\text{pequena}}\right)^2 — resultado direto.
  • Se pedirem diferença percentual, transforme a razão em porcentagem: por exemplo, razão 100 significa que a pequena tem 100 vezes a resistência da grande (ou 10000\% maior).

Resposta

\displaystyle R_{\text{mem}}(r)=\frac{R_m}{4\pi r^2}\
\displaystyle \frac{R_{\text{pequena}}}{R_{\text{grande}}}=\left(\frac{r_{\text{grande}}}{r_{\text{pequena}}}\right)^{\!2}\
Exemplo: se r_{\text{grande}}=10\,r_{\text{pequena}}, então \displaystyle \frac{R_{\text{pequena}}}{R_{\text{grande}}}=100.

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