Como a espessura da membrana biológica é, em grande parte, independente do tamanho do organismo, calcule a diferença na resistência de membrana total entre uma célula pequena e uma célula grande (esféricas).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a diferença na resistência de membrana total entre uma célula pequena e uma célula grande, assumindo que ambas são esféricas e que a espessura da membrana é (em grande parte) independente do tamanho do organismo. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A espessura da membrana é essencialmente constante entre as células.
- As células são esféricas.
- Queremos comparar a resistência de membrana total de uma célula pequena com a de uma célula grande (isto é, obter a diferença / razão entre as resistências).
Passo 2
Vamos entender fisicamente o que é a resistência de membrana total e como a espessura constante entra na conta. Pense na membrana como uma lâmina fina que conduz eletricidade com certa resistividade. A resistência elétrica de uma placa fina é dada por
onde:
-
é a resistividade do material (unidade: m), -
é a espessura da membrana (m), -
é a área da superfície atravessada pela corrente (m^2).
Como o problema diz que a espessura
é basicamente a mesma para células de tamanhos diferentes, o produto
é a mesma constante para ambas as células. Definimos essa constante por uma forma útil usada em fisiologia:
que se chama resistência específica por unidade de área da membrana (unidade:
m^2). Assim a resistência total da membrana torna-se
Aqui
é o mesmo para as duas células porque
e
são assumidos iguais.
Passo 3
Agora usamos a geometria da esfera para escrever a área. Para uma esfera de raio
,
Substituindo em
obtemos a expressão da resistência total da membrana de uma célula esférica em função do raio:
Explicando as variáveis:
-
é a resistência total da membrana da célula de raio . -
é a resistência específica por área (constante entre as células). -
é o raio da célula.
Passo 4
Queremos a diferença/razão entre a resistência da célula pequena e da célula grande. Seja
o raio da célula pequena e
o raio da célula grande. Aplicando a fórmula acima para cada uma:
A razão entre as resistências é então
Ou seja: a resistência total escala inversamente com a área da célula, e como a área de uma esfera cresce com
, a razão das resistências é o quadrado da razão dos raios.
Passo 5
Interpretação prática e exemplo numérico (para você ver como usar na prova): se a célula grande tem raio 10 vezes o da célula pequena, isto é
, então
Isso quer dizer que a célula pequena tem 100 vezes mais resistência de membrana total do que a célula grande (quando as duas têm a mesma resistência específica
). Dica de prova: se te derem diâmetros em vez de raios, use
; a razão de raios é igual à razão de diâmetros, então a mesma fórmula vale.
Passo 6
Como usar isso rápido na prova:
- Identifique que
e que para uma esfera . Logo . - Para comparar duas células, calcule
— resultado direto. - Se pedirem diferença percentual, transforme a razão em porcentagem: por exemplo, razão 100 significa que a pequena tem 100 vezes a resistência da grande (ou
maior).
Resposta
Exemplo: se