A energia cinética \mathbb{K}, de uma partícula de massa m com velocidade v, é \mathbb{K}=\frac{1}{2} m \cdot v^{2} A unidade de energia é o joule (J).
a) Escreva explicitamente, em função das unidades elementares, a unidade da energia.
b) Escreva a velocidade v em função de \mathbb{K} e m.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula da energia cinética e pede duas coisas:
  • a) Escrever, em função das unidades elementares, a unidade da energia.
  • b) Escrever a velocidade v em função de \mathbb{K} e m.
Informações dadas:
\mathbb{K}=\tfrac{1}{2}\,m\cdot v^{2}
A unidade de energia é o joule (J). As unidades elementares do Sistema Internacional que vamos usar são \mathrm{kg} (quilograma), \mathrm{m} (metro) e \mathrm{s} (segundo).

Passo 2

Entendendo unidades: cada grandeza física tem uma unidade base. Quando multiplicamos ou elevamos potências, as unidades se combinam do mesmo jeito que fatores algébricos. Aqui:
  • A massa m tem unidade \mathrm{kg}.
  • A velocidade v tem unidade \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} (metros por segundo).
Não resolvemos nada ainda, apenas colocamos as unidades das grandezas que aparecem na fórmula.

Passo 3

Calcule a unidade de v^{2}. Se v tem unidade \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}, então
v^{2} \text{ tem unidade } \left(\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\right)^{2} = \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}.
Expliquei isso porque elevar uma grandeza ao quadrado eleva também sua unidade ao quadrado.

Passo 4

Agora obtenho a unidade de \mathbb{K} usando \mathbb{K}=\tfrac{1}{2}\,m\cdot v^{2}. O fator \tfrac{1}{2} é adimensional (não tem unidade), logo a unidade de \mathbb{K} é o produto da unidade de m pela unidade de v^{2}:
\text{unidade de }\mathbb{K} = \mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}.
Isso mostra explicitamente a unidade do joule em termos das unidades elementares.

Passo 5

Agora resolvemos a equação para v. Partimos de
\mathbb{K}=\tfrac{1}{2}\,m\,v^{2}.
Multiplicamos ambos os lados por 2:
2\mathbb{K}=m\,v^{2}.
Dividimos ambos os lados por m (assumindo m>0):
\frac{2\mathbb{K}}{m}=v^{2}.
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados obtemos
v=\sqrt{\frac{2\mathbb{K}}{m}}.
Observação sobre sinal: a operação de raiz quadrada devolve o valor não negativo, então v como módulo da velocidade (velocidade escalar ou rapidez) é \sqrt{\dfrac{2\mathbb{K}}{m}}. Se você tratar v como componente de velocidade em uma reta, matematicamente existem duas soluções v=\pm\sqrt{\dfrac{2\mathbb{K}}{m}}, mas em física a velocidade escalar costuma ser tomada não negativa.

Resposta

(a) \mathrm{J}=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s}^{-2}\n
(b) v=\sqrt{\dfrac{2\mathbb{K}}{m}}

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