Áreas e Integrais
Calcule, via integral, a área da elipse:
x^27^2+y^211^2=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular, via integral, a área da elipse x^27^2+y^211^2=1. O conteúdo é cálculo de área por integração e vamos precisar usar simetria da curva e uma substituição para avaliar a integral.

Passo 2

Da equação x^27^2+y^211^2=1 isolamos a coordenada y na metade superior:
y=11raiz1-x^27^2
Por simetria em y, a área total da elipse é duas vezes a área sob a curva superior. Assim:
A=2integral-7^711raiz1-x^249,dx=22integral-7^7raiz1-x^249,dx

Passo 3

Para avaliar I=integral-7^7raiz1-x^249,dx, fazemos a substituição x=7u, dx=7,du, com u de -1 a 1. Então:
I=integral-1^1raiz1-u^2,7,du=7integral-1^1raiz1-u^2,du

Passo 4

Usando o resultado conhecido integral-1^1raiz1-u^2,du=pi2, obtemos
I=7cdotpi2e portanto A=22cdot7pi2

Resposta

77pi

Exercícios relacionados