Resolva a E.D.O, utilizando o método do fator integrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (E.D.O) usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma E.D.O de primeiro grau, e vamos precisar rearranjá-la para aplicar o método do fator integrante corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação original por
:
Então, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Vamos simplificar essa integral. Observe que
pode ser reescrito como
, então:
Percebemos que o numerador
é igual à derivada do denominador
. Portanto, a integral se simplifica para:
Então, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com equações diferenciais, podemos ignorar o valor absoluto:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando, a equação passa a ser:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com
:
Passo 5
Integrando ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral da E.D.O:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.