Resolva a E.D.O, utilizando o método do fator integrante.
(1-x^3) y^prime=3 x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (E.D.O) usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
(1 - x^3) y' = 3x^2 y
Aqui, estamos lidando com uma E.D.O de primeiro grau, e vamos precisar rearranjá-la para aplicar o método do fator integrante corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y' + P(x) y = Q(x)
Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação original por y' = 3x^21 - x^3 y :
y' + (-3x^21 - x^3) y = 0
Então, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx , que é dado por:
integral P(x) dx = integral (-3x^21 - x^3) dx
Vamos calcular a integral de integral (-3x^21 - x^3) dx = integral 3x^2x^3 - 1 dx :
integral 3x^2x^3 - 1 dx = ln|x^3 - 1| + C
Vamos simplificar essa integral. Observe que mu(x) = e^ln|x^3 - 1| = |x^3 - 1| pode ser reescrito como mu(x) = x^3 - 1 , então:
Percebemos que o numerador é igual à derivada do denominador . Portanto, a integral se simplifica para:
Então, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com equações diferenciais, podemos ignorar o valor absoluto:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante (x^3 - 1) y' + (-3x^21 - x^3) (x^3 - 1) y = 0 :
(x^3 - 1) y' - 3x^2 y = 0
Simplificando, a equação passa a ser:
ddx [ (x^3 - 1) y ] = 0
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com :

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação:
integral ddx [ (x^3 - 1) y ] dx = integral 0 , dx
Isso nos dá:
(x^3 - 1) y = C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y = Cx^3 - 1 para encontrar a solução geral da E.D.O:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = Cx^3 - 1
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados