Resolva a E.D.O, utilizando o método de separação de variáveis (ou equações separáveis).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa E.D.O usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar entender o que são equações diferenciais ordinárias (E.D.O) e como aplicar a separação de variáveis para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a derivada de em termos de . Assim:
Passo 3
O método de separação de variáveis consiste em rearranjar a equação para que todas as expressões envolvendo fiquem de um lado e as que envolvem fiquem do outro. Vamos fazer isso multiplicando ambos os lados por :
Simplificando, temos:
Agora, vamos separar as variáveis:
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, vamos lembrar que:
e
integral 1x^2 - 1 dx = 12 ln|x - 1x + 1| + C
Portanto, integramos ambos os lados:
12 ln|y - 1y + 1| = 12 ln|x - 1x + 1| + C
Passo 5
Vamos simplificar a expressão multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o ln|y - 1y + 1| = ln|x - 1x + 1| + C' :
Onde é uma constante arbitrária.
Passo 6
Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y - 1y + 1 = K cdot x - 1x + 1
Onde é uma nova constante.
Passo 7
Agora, vamos resolver para y - 1 = K cdot x - 1x + 1 (y + 1) . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por y - 1 = K cdot x - 1x + 1 y + K cdot x - 1x + 1 :
Distribuindo :
Passo 8
Vamos reunir os termos com y - K cdot x - 1x + 1 y = 1 + K cdot x - 1x + 1 de um lado:
y (1 - K cdot x - 1x + 1) = 1 + K cdot x - 1x + 1
Fatorando :
Passo 9
Finalmente, isolamos y = 1 + K cdot x - 1x + 11 - K cdot x - 1x + 1 :
Essa é a solução geral da E.D.O dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
y = 1 + K cdot x - 1x + 11 - K cdot x - 1x + 1
Onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.