Uma areia de fundição, com distribuição granulométrica apresentada na Tabela I foi separada mecanicamente pela técnica de peneiração. Para isso foi utilizada uma peneira com abertura de
, resultando as análises acumulativas de retidos apresentados na tabela II. Calcule a relação entre os pesos dos grossos e de alimentação, e de finos e alimentação. Determine também a eficiência global da peneira.
Table 1: Tabela I\captionsetup{labelformat=empty}
Mesh Tyler
Abertura (cm)
X
0,3325
0,025
+6-8
0,2362
0,125
0,1651
0,321
0,1168
0,257
0,0833
0,159
0,0589
0,054
0,0417
0,021
0,0295
0,010
0,0208
0,008
0,0147
0,006
0,104
0,004
0,0074
0,003
fundo
-
0,007
Table 2: Tabela II\captionsetup{labelformat=empty}
Mesh Tyler
Abertura
Fração acumulativa
Grossos
Finos
4
0,4699
0
6
0,3327
0,07
8
0,2362
0,42
0
10
0,1651
0,80
0,19
14
0,1168
0,95
0,56
20
0,0833
0,98
0,80
28
0,0589
1
0,90
35
0,0417
0,93
48
0,0332
0,94
62
0,0208
0,96
fundo
1
Table 1: Tabela I
\captionsetup{labelformat=empty}
| Mesh Tyler | Abertura (cm) | X |
|
|
0,3325 | 0,025 |
| +6-8 | 0,2362 | 0,125 |
|
|
0,1651 | 0,321 |
|
|
0,1168 | 0,257 |
|
|
0,0833 | 0,159 |
|
|
0,0589 | 0,054 |
|
|
0,0417 | 0,021 |
|
|
0,0295 | 0,010 |
|
|
0,0208 | 0,008 |
|
|
0,0147 | 0,006 |
|
|
0,104 | 0,004 |
|
|
0,0074 | 0,003 |
| fundo | - | 0,007 |
Table 2: Tabela II
\captionsetup{labelformat=empty}
| Mesh Tyler | Abertura | Fração acumulativa | |
| Grossos | Finos | ||
| 4 | 0,4699 | 0 | |
| 6 | 0,3327 | 0,07 | |
| 8 | 0,2362 | 0,42 | 0 |
| 10 | 0,1651 | 0,80 | 0,19 |
| 14 | 0,1168 | 0,95 | 0,56 |
| 20 | 0,0833 | 0,98 | 0,80 |
| 28 | 0,0589 | 1 | 0,90 |
| 35 | 0,0417 | 0,93 | |
| 48 | 0,0332 | 0,94 | |
| 62 | 0,0208 | 0,96 | |
| fundo | 1 | ||
Passo 1
O enunciado pede:
- Calcular a razão entre os pesos dos grossos e da alimentação (
grossos/alimentação e a razão entre os pesos dos finos e da alimentação ( finos/alimentação depois da separação por peneiração com abertura de 0,152\ \mathrm{cm} . - Determinar a eficiência global da peneira (fração da massa corretamente classificada).
Informações fornecidas (retirei os números diretamente das Tabelas I e II enviadas):
- Distribuição granulométrica da alimentação (Tabela I): frações de massa em cada classe, que somam
1). - Classes (do mais grosso para o mais fino) com as respectivas frações
:
0{,}025,\ 0{,}125,\ 0{,}321,\ 0{,}257,\ 0{,}159,\ 0{,}054,\ 0{,}021,\ 0{,}010,\ 0{,}008,\ 0{,}006,\ 0{,}004,\ 0{,}003,\ 0{,}007 .
- Classes (do mais grosso para o mais fino) com as respectivas frações
- Peneira usada tem abertura
0,152\ \mathrm{cm} , que fica entre as aberturas 0{,}1651\ \mathrm{cm}\ (malha\ 10)) e 0{,}1168\ \mathrm{cm}\ (malha\ 14)) (ou seja, o corte está dentro da classe que, na Tabela I, tem fração 0{,}257 ). - Tabela II: frações acumulativas de retidos medidas separadamente para o produto “Grossos” e para o produto “Finos” em várias malhas. Usei esses valores (peguei os números da Tabela II):
- Para as malhas relevantes (do mais grosso para o mais fino):
-
0{,}4699:\ c_{G}=0{,}00,\ c_{F}=0{,}00 (malha 4) -
0{,}3327:\ c_{G}=0{,}07,\ c_{F}=0{,}00 (malha 6) -
0{,}2362:\ c_{G}=0{,}42,\ c_{F}=0{,}00 (malha 8) -
0{,}1651:\ c_{G}=0{,}80,\ c_{F}=0{,}19 (malha 10) -
0{,}1168:\ c_{G}=0{,}95,\ c_{F}=0{,}56 (malha 14) -
0{,}0833:\ c_{G}=0{,}98,\ c_{F}=0{,}80 (malha 20) -
0{,}0589:\ c_{G}=1{,}00,\ c_{F}=0{,}90 (malha 28) -
0{,}0417:\ c_{G}=1{,}00,\ c_{F}=0{,}93 (malha 35) -
0{,}0332\ (\approx 0{,}0295):\ c_{G}=1{,}00,\ c_{F}=0{,}94 (malha 48) -
0{,}0208:\ c_{G}=1{,}00,\ c_{F}=0{,}96 (malha 62) -
fundo:\ c_{G}=1{,}00,\ c_{F}=1{,}00 .
-
- Para as malhas relevantes (do mais grosso para o mais fino):
Observações importantes retiradas das Tabelas (uso direto dos dados):
- A Tabela I dá
, a fração de massa de cada classe na alimentação. - A Tabela II dá
e , frações acumulativas retidas (acima da malha de abertura ) para os produtos grossos e finos respectivamente. - O corte
0{,}152\ \mathrm{cm} está dentro da classe correspondente à abertura 0{,}1651 \to 0{,}1168) (fração na Tabela I). Nesta classe teremos parte que é “oversize” (> ) e parte que é “undersize” (< ).
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Princípio de balanço para cada classe granular: a massa da alimentação em uma classe
é a soma da parcela dessa classe que veio com o produto grosso e da parcela que veio com o produto fino. Se
é a fração (por peso) do produto grosso na alimentação e
a fração do produto fino, então (para a classe entre duas malhas
e
)
onde
isto é,
é a fração do produto grosso que está nessa classe (obtida pelas diferenças das acumuladas) e
a fração do produto fino que está nessa mesma classe. Expliquei isso porque é a base do método: cada classe da alimentação é formada por contribuições das duas correntes (grossos e finos).
Passo 3
Calcular os incrementos
e
(faço isso seguindo as malhas e as fracções acumuladas que eu peguei da Tabela II). Agrupei as classes para corresponder às aberturas fornecidas:
Listei as classes (com
da Tabela I) e calculei
e
:
-
Classe 1 (entre
e ):
. -
Classe 2 (entre
e ):
. -
Classe 3 (entre
e ):
. -
Classe 4 (entre
e ): (esta é a classe que contém o corte )
. -
Classe 5 (entre
e ):
. -
Classe 6 (entre
e ):
. -
Classe 7 (entre
e ):
. -
Classe 8 (entre
e ):
. -
Classe 9 (entre
e ):
. -
Classes muito finas (abaixo de
) — juntei as últimas quatro classes:
.
Verificação rápida:
(fechado) e
,
(pela definição das acumuladas).
Passo 4
Formular o sistema para
e
. Para cada classe
:
Além disso existe balanço de massa global:
Em teoria os dados medidos (Tabelas I e II) devem ser consistentes; na prática há pequenas inconsistências experimentais. A forma robusta e simples é usar a restrição
e obter
por ajuste (mínimos quadrados) para as equações das classes — isto dá a melhor estimativa que satisfaz a conservação de massa. Vou seguir esse procedimento (explico a manipulação):
Substituindo
em cada equação:
Defina
e
. Então buscamos
que minimiza somatório dos quadrados dos resíduos; a solução de mínimos quadrados é
Passo 5
Calcular
,
e as somas necessárias (usei os
calculados no Passo 3). Aqui mostro os cálculos essenciais (valores arredondados com 3 casas decimais na explicação, mas mantive precisão nas somas):
Para cada classe:
- Classe 1:
. - Classe 2:
. - Classe 3:
. - Classe 4:
. - Classe 5:
. - Classe 6:
. - Classe 7:
. - Classe 8:
. - Classe 9:
. - Classe 10 (agregada):
.
Agora as somas (usadas na fórmula de
):
Logo
E
Interpretação:
significa que
44{,}2%\ da alimentação saiu como produto grosso) e
saiu como produto fino.
Passo 6
Verificação rápida das contribuições por classe (opcional, para ganhar confiança): para cada classe a massa absoluta proveniente de grossos é
e a vinda de finos é
. A soma
deve ficar aproximadamente
. Com
e
as somas batem bem (pequenas discrepâncias por arredondamento e por medidas experimentais).
Passo 7
Agora defino a eficiência global da peneira. Vou usar a definição intuitiva e prática:
- Eficiência global
massa corretamente classificada / massa total da alimentação.
“Corretamente classificada” significa: (i) partículas realmente maiores que a abertura (oversize) que terminaram no produto grosso (retidas na peneira) mais (ii) partículas realmente menores que a abertura (undersize) que terminaram no produto fino (passaram pela peneira).
Para aplicar isso precisamos separar classes em:
- Classes totalmente acima do corte
0{,}152\ \mathrm{cm} (todas as partículas dessas classes são oversize). - Classes totalmente abaixo do corte (undersize).
- A classe que contém o corte (entre
e , ), que é parcialmente oversize e parcialmente undersize.
Para a classe que contém o corte, assumimos distribuição uniforme de tamanhos dentro da classe (uma hipótese padrão quando não há informação interna da classe). Assim a fração da classe que é oversize (>
) é
Ou seja,
da massa dessa classe é maior que
e
é menor.
Passo 8
Calcular a massa corretamente classificada por classes usando
e
.
-
Para classes totalmente oversize (classes 1,2 e 3): só a parcela que veio com o produto grosso é correta (porque as partículas oversize que terminaram nos finos são erros). Portanto, contribuição correta =
. -
Para classes totalmente undersize (classes abaixo da classe 4): contribuição correta =
(apenas as parcelas que terminaram nos finos são corretas). -
Para a classe que contém o corte (classe 4): contribuição correta combinada é
porque
da massa é oversize (dessas, as que foram para o grosso
são corretas) e
é undersize (dessas, as que foram para o fino
são corretas).
Agora aplicando números (uso
,
):
Calculei
e
e as contribuições corretas (apresento os resultados numéricos arredondados):
-
Classe 1:
. Correto = . -
Classe 2:
. Correto = . -
Classe 3:
. Correto = . -
Classe 4 (straddle):
.
Correto nesta classe
-
Classe 5:
. Correto = . -
Classe 6:
. Correto = . -
Classe 7: Correto =
. -
Classe 8: Correto =
. -
Classe 9: Correto =
. -
Classe 10 (agregada fina): Correto =
.
Passo 9
Somar todas as contribuições corretas para obter a massa corretamente classificada:
Somando dá aproximadamente
0{,}7676) (ou
da alimentação).
Portanto a eficiência global da peneira (fracao corretamente classificada) é aproximadamente
0{,}768) (ou
).
Resposta
grossos/alimentação =
finos/alimentação =
eficiência global ≈
finos/alimentação =
eficiência global ≈