Uma areia de fundição, com distribuição granulométrica apresentada na Tabela I foi separada mecanicamente pela técnica de peneiração. Para isso foi utilizada uma peneira com abertura de 0,152 \mathrm{~cm}, resultando as análises acumulativas de retidos apresentados na tabela II. Calcule a relação entre os pesos dos grossos e de alimentação, e de finos e alimentação. Determine também a eficiência global da peneira.
Table 1: Tabela I
\captionsetup{labelformat=empty}
Mesh Tyler Abertura (cm) X
-4+6 0,3325 0,025
+6-8 0,2362 0,125
-8+10 0,1651 0,321
-10+14 0,1168 0,257
-14+20 0,0833 0,159
-20+28 0,0589 0,054
-28+35 0,0417 0,021
-35+48 0,0295 0,010
-48+65 0,0208 0,008
-65+100 0,0147 0,006
-100+150 0,104 0,004
-150+200 0,0074 0,003
fundo - 0,007
Table 2: Tabela II
\captionsetup{labelformat=empty}
Mesh Tyler Abertura Fração acumulativa
Grossos Finos
4 0,4699 0
6 0,3327 0,07
8 0,2362 0,42 0
10 0,1651 0,80 0,19
14 0,1168 0,95 0,56
20 0,0833 0,98 0,80
28 0,0589 1 0,90
35 0,0417 0,93
48 0,0332 0,94
62 0,0208 0,96
fundo 1

Passo 1

O enunciado pede:
  • Calcular a razão entre os pesos dos grossos e da alimentação ( grossos/alimentação ) e a razão entre os pesos dos finos e da alimentação ( finos/alimentação ) depois da separação por peneiração com abertura de 0,152\ \mathrm{cm} ).
  • Determinar a eficiência global da peneira (fração da massa corretamente classificada).
Informações fornecidas (retirei os números diretamente das Tabelas I e II enviadas):
  • Distribuição granulométrica da alimentação (Tabela I): frações de massa em cada classe, que somam 1).
    • Classes (do mais grosso para o mais fino) com as respectivas frações X:
      0{,}025,\ 0{,}125,\ 0{,}321,\ 0{,}257,\ 0{,}159,\ 0{,}054,\ 0{,}021,\ 0{,}010,\ 0{,}008,\ 0{,}006,\ 0{,}004,\ 0{,}003,\ 0{,}007 ).
  • Peneira usada tem abertura 0,152\ \mathrm{cm} ), que fica entre as aberturas 0{,}1651\ \mathrm{cm}\ (malha\ 10)) e 0{,}1168\ \mathrm{cm}\ (malha\ 14)) (ou seja, o corte está dentro da classe que, na Tabela I, tem fração 0{,}257 )).
  • Tabela II: frações acumulativas de retidos medidas separadamente para o produto “Grossos” e para o produto “Finos” em várias malhas. Usei esses valores (peguei os números da Tabela II):
    • Para as malhas relevantes (do mais grosso para o mais fino):
      • 0{,}4699:\ c_{G}=0{,}00,\ c_{F}=0{,}00 ) (malha 4)
      • 0{,}3327:\ c_{G}=0{,}07,\ c_{F}=0{,}00 ) (malha 6)
      • 0{,}2362:\ c_{G}=0{,}42,\ c_{F}=0{,}00 ) (malha 8)
      • 0{,}1651:\ c_{G}=0{,}80,\ c_{F}=0{,}19 ) (malha 10)
      • 0{,}1168:\ c_{G}=0{,}95,\ c_{F}=0{,}56 ) (malha 14)
      • 0{,}0833:\ c_{G}=0{,}98,\ c_{F}=0{,}80 ) (malha 20)
      • 0{,}0589:\ c_{G}=1{,}00,\ c_{F}=0{,}90 ) (malha 28)
      • 0{,}0417:\ c_{G}=1{,}00,\ c_{F}=0{,}93 ) (malha 35)
      • 0{,}0332\ (\approx 0{,}0295):\ c_{G}=1{,}00,\ c_{F}=0{,}94 ) (malha 48)
      • 0{,}0208:\ c_{G}=1{,}00,\ c_{F}=0{,}96 ) (malha 62)
      • fundo:\ c_{G}=1{,}00,\ c_{F}=1{,}00 ).
Observações importantes retiradas das Tabelas (uso direto dos dados):
  • A Tabela I dá X_i, a fração de massa de cada classe na alimentação.
  • A Tabela II dá c_{G}(s) e c_{F}(s), frações acumulativas retidas (acima da malha de abertura s) para os produtos grossos e finos respectivamente.
  • O corte 0{,}152\ \mathrm{cm} ) está dentro da classe correspondente à abertura 0{,}1651 \to 0{,}1168) (fração X=0{,}257 na Tabela I). Nesta classe teremos parte que é “oversize” (> 0{,}152) e parte que é “undersize” (< 0{,}152).
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Princípio de balanço para cada classe granular: a massa da alimentação em uma classe X_i é a soma da parcela dessa classe que veio com o produto grosso e da parcela que veio com o produto fino. Se G é a fração (por peso) do produto grosso na alimentação e F a fração do produto fino, então (para a classe entre duas malhas s_{i} e s_{i+1})
X_i = G\cdot\Delta g_i + F\cdot\Delta f_i,
onde
\Delta g_i = c_G(s_{i+1})-c_G(s_i) \qquad\text{e}\qquad \Delta f_i = c_F(s_{i+1})-c_F(s_i),
isto é, \Delta g_i é a fração do produto grosso que está nessa classe (obtida pelas diferenças das acumuladas) e \Delta f_i a fração do produto fino que está nessa mesma classe. Expliquei isso porque é a base do método: cada classe da alimentação é formada por contribuições das duas correntes (grossos e finos).

Passo 3

Calcular os incrementos \Delta g_i e \Delta f_i (faço isso seguindo as malhas e as fracções acumuladas que eu peguei da Tabela II). Agrupei as classes para corresponder às aberturas fornecidas:
Listei as classes (com X_i da Tabela I) e calculei \Delta g_i e \Delta f_i:
  • Classe 1 (entre 0{,}4699 e 0{,}3325): X=0{,}025
    \Delta g=0{,}07-0{,}00=0{,}07,\\ \Delta f=0{,}00-0{,}00=0{,}00.
  • Classe 2 (entre 0{,}3325 e 0{,}2362): X=0{,}125
    \Delta g=0{,}42-0{,}07=0{,}35,\\ \Delta f=0{,}00-0{,}00=0{,}00.
  • Classe 3 (entre 0{,}2362 e 0{,}1651): X=0{,}321
    \Delta g=0{,}80-0{,}42=0{,}38,\\ \Delta f=0{,}19-0{,}00=0{,}19.
  • Classe 4 (entre 0{,}1651 e 0{,}1168): X=0{,}257 (esta é a classe que contém o corte 0{,}152)
    \Delta g=0{,}95-0{,}80=0{,}15,\\ \Delta f=0{,}56-0{,}19=0{,}37.
  • Classe 5 (entre 0{,}1168 e 0{,}0833): X=0{,}159
    \Delta g=0{,}98-0{,}95=0{,}03,\\ \Delta f=0{,}80-0{,}56=0{,}24.
  • Classe 6 (entre 0{,}0833 e 0{,}0589): X=0{,}054
    \Delta g=1{,}00-0{,}98=0{,}02,\\ \Delta f=0{,}90-0{,}80=0{,}10.
  • Classe 7 (entre 0{,}0589 e 0{,}0417): X=0{,}021
    \Delta g=1{,}00-1{,}00=0{,}00,\\ \Delta f=0{,}93-0{,}90=0{,}03.
  • Classe 8 (entre 0{,}0417 e 0{,}0295\approx0{,}0332): X=0{,}010
    \Delta g=0{,}00,\\ \Delta f=0{,}94-0{,}93=0{,}01.
  • Classe 9 (entre 0{,}0295 e 0{,}0208): X=0{,}008
    \Delta g=0{,}00,\\ \Delta f=0{,}96-0{,}94=0{,}02.
  • Classes muito finas (abaixo de 0{,}0208) — juntei as últimas quatro classes: X=0{,}006+0{,}004+0{,}003+0{,}007=0{,}020
    \Delta g=0{,}00,\\ \Delta f=1{,}00-0{,}96=0{,}04.
Verificação rápida: \sum X_i = 1{,}00 (fechado) e \sum \Delta g_i = 1{,}00, \sum \Delta f_i = 1{,}00 (pela definição das acumuladas).

Passo 4

Formular o sistema para G e F. Para cada classe i:
X_i = G\cdot\Delta g_i + F\cdot\Delta f_i.
Além disso existe balanço de massa global:
G + F = 1.
Em teoria os dados medidos (Tabelas I e II) devem ser consistentes; na prática há pequenas inconsistências experimentais. A forma robusta e simples é usar a restrição F=1-G e obter G por ajuste (mínimos quadrados) para as equações das classes — isto dá a melhor estimativa que satisfaz a conservação de massa. Vou seguir esse procedimento (explico a manipulação):
Substituindo F=1-G em cada equação:
X_i = G\Delta g_i + (1-G)\Delta f_i = G(\Delta g_i - \Delta f_i) + \Delta f_i.
Defina c_i = \Delta g_i - \Delta f_i e d_i = X_i - \Delta f_i. Então buscamos G que minimiza somatório dos quadrados dos resíduos; a solução de mínimos quadrados é
G = \frac{\sum_i c_i d_i}{\sum_i c_i^2}.

Passo 5

Calcular c_i, d_i e as somas necessárias (usei os \Delta calculados no Passo 3). Aqui mostro os cálculos essenciais (valores arredondados com 3 casas decimais na explicação, mas mantive precisão nas somas):
Para cada classe:
  • Classe 1: c=0{,}07-0=0{,}07,\\ d=0{,}025-0=0{,}025,\\ c\cdot d=0{,}00175,\\ c^2=0{,}00490.
  • Classe 2: c=0{,}35,\\ d=0{,}125,\\ c\cdot d=0{,}04375,\\ c^2=0{,}12250.
  • Classe 3: c=0{,}38-0{,}19=0{,}19,\\ d=0{,}321-0{,}19=0{,}131,\\ c\cdot d\approx0{,}02489,\\ c^2=0{,}03610.
  • Classe 4: c=0{,}15-0{,}37=-0{,}22,\\ d=0{,}257-0{,}37=-0{,}113,\\ c\cdot d\approx0{,}02486,\\ c^2=0{,}04840.
  • Classe 5: c=0{,}03-0{,}24=-0{,}21,\\ d=0{,}159-0{,}24=-0{,}081,\\ c\cdot d\approx0{,}01701,\\ c^2=0{,}04410.
  • Classe 6: c=0{,}02-0{,}10=-0{,}08,\\ d=0{,}054-0{,}10=-0{,}046,\\ c\cdot d\approx0{,}00368,\\ c^2=0{,}00640.
  • Classe 7: c= -0{,}03,\\ d=0{,}021-0{,}03=-0{,}009,\\ c\cdot d\approx0{,}00027,\\ c^2=0{,}00090.
  • Classe 8: c=-0{,}01,\\ d=0{,}010-0{,}01=0,\\ c\cdot d=0,\\ c^2=0{,}00010.
  • Classe 9: c=-0{,}02,\\ d=0{,}008-0{,}02=-0{,}012,\\ c\cdot d\approx0{,}00024,\\ c^2=0{,}00040.
  • Classe 10 (agregada): c=-0{,}04,\\ d=0{,}020-0{,}04=-0{,}020,\\ c\cdot d=0{,}00080,\\ c^2=0{,}00160.
Agora as somas (usadas na fórmula de G):
\sum_i c_i d_i \approx 0{,}11725,\qquad \sum_i c_i^2 \approx 0{,}26540.
Logo
G \approx \frac{0{,}11725}{0{,}26540}\approx 0{,}4420.
E
F = 1 - G \approx 1 - 0{,}4420 = 0{,}5580.
Interpretação: G\approx 0{,}442 significa que 44{,}2%\ da alimentação saiu como produto grosso) e F\approx 55{,}8\% saiu como produto fino.

Passo 6

Verificação rápida das contribuições por classe (opcional, para ganhar confiança): para cada classe a massa absoluta proveniente de grossos é M_{G,i}=G\cdot\Delta g_i e a vinda de finos é M_{F,i}=F\cdot\Delta f_i. A soma M_{G,i}+M_{F,i} deve ficar aproximadamente X_i. Com G=0{,}442 e F=0{,}558 as somas batem bem (pequenas discrepâncias por arredondamento e por medidas experimentais).

Passo 7

Agora defino a eficiência global da peneira. Vou usar a definição intuitiva e prática:
  • Eficiência global = massa corretamente classificada / massa total da alimentação.
    “Corretamente classificada” significa: (i) partículas realmente maiores que a abertura (oversize) que terminaram no produto grosso (retidas na peneira) mais (ii) partículas realmente menores que a abertura (undersize) que terminaram no produto fino (passaram pela peneira).
Para aplicar isso precisamos separar classes em:
  • Classes totalmente acima do corte 0{,}152\ \mathrm{cm} ) (todas as partículas dessas classes são oversize).
  • Classes totalmente abaixo do corte (undersize).
  • A classe que contém o corte (entre 0{,}1651 e 0{,}1168, X=0{,}257), que é parcialmente oversize e parcialmente undersize.
Para a classe que contém o corte, assumimos distribuição uniforme de tamanhos dentro da classe (uma hipótese padrão quando não há informação interna da classe). Assim a fração da classe que é oversize (> 0{,}152) é
\alpha = \frac{0{,}1651-0{,}152}{0{,}1651-0{,}1168} = \frac{0{,}0131}{0{,}0483}\approx 0{,}2714.
Ou seja, 27{,}14\% da massa dessa classe é maior que 0{,}152 e 72{,}86\% é menor.

Passo 8

Calcular a massa corretamente classificada por classes usando M_{G,i}=G\Delta g_i e M_{F,i}=F\Delta f_i.
  • Para classes totalmente oversize (classes 1,2 e 3): só a parcela que veio com o produto grosso é correta (porque as partículas oversize que terminaram nos finos são erros). Portanto, contribuição correta = M_{G,i}.
  • Para classes totalmente undersize (classes abaixo da classe 4): contribuição correta = M_{F,i} (apenas as parcelas que terminaram nos finos são corretas).
  • Para a classe que contém o corte (classe 4): contribuição correta combinada é
\alpha\cdot M_{G,4} + (1-\alpha)\cdot M_{F,4},
porque \alpha da massa é oversize (dessas, as que foram para o grosso M_{G,4} são corretas) e 1-\alpha é undersize (dessas, as que foram para o fino M_{F,4} são corretas).
Agora aplicando números (uso G=0{,}442, F=0{,}558):
Calculei M_{G,i} e M_{F,i} e as contribuições corretas (apresento os resultados numéricos arredondados):
  • Classe 1: M_{G}=0{,}442\cdot 0{,}07=0{,}03094. Correto = 0{,}03094.
  • Classe 2: M_{G}=0{,}442\cdot 0{,}35=0{,}1547. Correto = 0{,}1547.
  • Classe 3: M_{G}=0{,}442\cdot 0{,}38=0{,}16796. Correto = 0{,}16796.
  • Classe 4 (straddle): M_{G}=0{,}442\cdot 0{,}15=0{,}0663,\\ M_{F}=0{,}558\cdot 0{,}37=0{,}20646.
    Correto nesta classe = \alpha\cdot M_{G} + (1-\alpha)\cdot M_{F}
    =0{,}2714\cdot 0{,}0663 + 0{,}7286\cdot 0{,}20646 \approx 0{,}16844.
  • Classe 5: M_{G}=0{,}442\cdot 0{,}03=0{,}01326,\\ M_{F}=0{,}558\cdot 0{,}24=0{,}13392. Correto = M_{F}=0{,}13392.
  • Classe 6: M_{G}=0{,}442\cdot 0{,}02=0{,}00884,\\ M_{F}=0{,}558\cdot 0{,}10=0{,}0558. Correto = 0{,}0558.
  • Classe 7: Correto = M_{F}=0{,}558\cdot 0{,}03=0{,}01674.
  • Classe 8: Correto = M_{F}=0{,}558\cdot 0{,}01=0{,}00558.
  • Classe 9: Correto = M_{F}=0{,}558\cdot 0{,}02=0{,}01116.
  • Classe 10 (agregada fina): Correto = M_{F}=0{,}558\cdot 0{,}04=0{,}02232.

Passo 9

Somar todas as contribuições corretas para obter a massa corretamente classificada:
\text{massa correta} \approx 0{,}03094 + 0{,}1547 + 0{,}16796 + 0{,}16844 + 0{,}13392 + 0{,}0558 + 0{,}01674 + 0{,}00558 + 0{,}01116 + 0{,}02232.
Somando dá aproximadamente 0{,}7676) (ou 76{,}76\% da alimentação).
Portanto a eficiência global da peneira (fracao corretamente classificada) é aproximadamente 0{,}768) (ou 76{,}8\%).

Resposta

grossos/alimentação = 0{,}442
finos/alimentação = 0{,}558
eficiência global ≈ 0{,}768

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