A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta à razão de 15 cm / min determine a taxa à qual a areia está se escoando quando a altura da pilha é 25 cm . RESPOSTA: 9375 pi cm^3 / min

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, estamos lidando com taxas relacionadas em Cálculo. A gente tem uma pilha de areia que forma um cone, onde a altura é igual ao raio da base. Precisamos descobrir a taxa de variação do volume da pilha quando a altura está aumentando a 15 cm/min e quando a altura é 25 cm. Para isso, vamos usar a fórmula do volume do cone e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
V = 13 pi r^2 h
Mas, como a altura V = 13 pi h^2 h = 13 pi h^3 é igual ao raio , podemos substituir por :

Passo 3

Agora, queremos encontrar como o volume dVdt = ddt ( 13 pi h^3 ) = pi h^2 dhdt está mudando em relação ao tempo . Para isso, vamos derivar em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 4

Sabemos que dVdt = pi (25)^2 times 15 e queremos encontrar dVdt = pi times 625 times 15 quando dVdt = 9375 pi , cm^3/min . Substituindo os valores na equação:

Resposta

A taxa à qual a areia está se escoando quando a altura da pilha é 25 cm é .

Exercícios relacionados