A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta à razão de
determine a taxa à qual a areia está se escoando quando a altura da pilha é 25 cm . RESPOSTA:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, estamos lidando com taxas relacionadas em Cálculo. A gente tem uma pilha de areia que forma um cone, onde a altura é igual ao raio da base. Precisamos descobrir a taxa de variação do volume da pilha quando a altura está aumentando a 15 cm/min e quando a altura é 25 cm. Para isso, vamos usar a fórmula do volume do cone e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Mas, como a altura
é igual ao raio
, podemos substituir
por
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar como o volume
está mudando em relação ao tempo
. Para isso, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 4
Sabemos que
e queremos encontrar
quando
. Substituindo os valores na equação:
Resposta
A taxa à qual a areia está se escoando quando a altura da pilha é 25 cm é
.