Determine o valor de a para que a função seja contínua em , justificando sua resposta.
(e)
Passo 1
Vamos resolver o problema que nos foi apresentado. Precisamos encontrar o valor de f(x) = -2 & se x <= -1 a x - b & se -1 < x < 1 3 & se x >= 1 para que a função seja contínua em todos os números reais (). A função está definida por partes:
Para que a função seja contínua em , ela deve ser contínua nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e . Vamos precisar usar o conceito de limites para garantir que não haja “saltos” na função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, analisaremos a continuidade em limx to -1^- f(x) = -2 . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite pela esquerda ( f(-1) = -2 ) deve ser igual ao valor da função em limx to -1^+ f(x) = a(-1) - b = -a - b e ao limite pela direita ( -2 = -a - b ).
Igualando os limites:
Passo 3
Agora, faremos o mesmo para limx to 1^- f(x) = a(1) - b = a - b . A função deve ser contínua em f(1) = 3 , então:
a - b = 3
Igualando os limites:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
-2 = -a - b a - b = 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 5
Somando as duas equações para eliminar (-2) + (a - b) = (-a - b) + (a - b) -2 + a - b = -a - b + a - b -2 + a - b = -2b :
-2 = -a - b b = -a + 2
Mas uma maneira mais simples é resolver uma das equações para uma variável e substituir na outra. Vamos resolver a primeira equação para :
Passo 6
Substituindo a - (-a + 2) = 3 a + a - 2 = 3 2a - 2 = 3 2a = 5 a = 52 na segunda equação: