Dadas as constantes
, considere a função
dada por
Então, para cada número real
, a equação
tem pelo menos uma solução real.
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre uma função definida por
, onde
e
são constantes com
. A pergunta quer saber se, para qualquer número real
, a equação
sempre tem pelo menos uma solução real. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais e as condições para que equações tenham soluções reais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de forma mais simples:
Para resolver essa equação, nosso objetivo é encontrar o valor de
que satisfaz essa igualdade.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador
para eliminar a fração:
Agora, vamos isolar o termo com a raiz quadrada:
Passo 4
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Passo 5
Vamos distribuir o
:
Agora, vamos reunir todos os termos em um lado da equação:
Simplificando os termos de
:
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por -1:
Passo 6
Agora temos uma equação quadrática na forma
, onde:
Para que essa equação tenha pelo menos uma solução real, o discriminante
precisa ser maior ou igual a zero. O discriminante é dado por:
Vamos calcular:
Independentemente dos valores de
,
e
satisfazendo
, o discriminante sempre será positivo, o que garante que a equação quadrática tem pelo menos uma solução real.
Resposta
Verdadeiro