Dadas as constantes a>b>0, considere a função f dada por
f(x)=x-braiza^2-x^2
Então, para cada número real c, a equação
f(x)-c=0
tem pelo menos uma solução real.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre uma função definida por , onde e são constantes com . A pergunta quer saber se, para qualquer número real , a equação sempre tem pelo menos uma solução real. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais e as condições para que equações tenham soluções reais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação x - braiza^2 - x^2 = c de forma mais simples:
Para resolver essa equação, nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz essa igualdade.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador x - b = c cdot raiza^2 - x^2 para eliminar a fração:
c cdot raiza^2 - x^2 = x - b
Agora, vamos isolar o termo com a raiz quadrada:

Passo 4

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
( c cdot raiza^2 - x^2 )^2 = (x - b)^2
Simplificando:
c^2 (a^2 - x^2) = x^2 - 2b x + b^2

Passo 5

Vamos distribuir o c^2 a^2 - c^2 x^2 = x^2 - 2b x + b^2 :
- c^2 x^2 - x^2 + 2b x + (c^2 a^2 - b^2) = 0
Agora, vamos reunir todos os termos em um lado da equação:
-(c^2 + 1) x^2 + 2b x + (c^2 a^2 - b^2) = 0
Simplificando os termos de (c^2 + 1) x^2 - 2b x - (c^2 a^2 - b^2) = 0 :
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por -1:

Passo 6

Agora temos uma equação quadrática na forma A = c^2 + 1 , onde:
B = -2b
C = -(c^2 a^2 - b^2)
De
Para que essa equação tenha pelo menos uma solução real, o discriminante De precisa ser maior ou igual a zero. O discriminante é dado por:
De
Vamos calcular:
De
Independentemente dos valores de , e satisfazendo , o discriminante sempre será positivo, o que garante que a equação quadrática tem pelo menos uma solução real.

Resposta

Verdadeiro

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