1. A aresta da base e a altura de um prisma regular triangular medem 8 cm e 6 cm , respectivamente. Calcule:
    a) a área da base;
    b) a área total;
    c) a área lateral;

Passo 1

O enunciado dá um prisma triangular regular com as seguintes informações e pede três coisas.\n
Dados fornecidos:\n
  • A aresta da base vale \,8\\ \text{cm}.\n
  • A altura do prisma (distância entre as bases) vale \,6\\ \text{cm}.\n
    Pedidos do exercício:\n
    a) Calcular a área da base.\n
    b) Calcular a área total do prisma.\n
    c) Calcular a área lateral do prisma.\n

Passo 2

Entendendo o que é a base: como o prisma é “regular triangular”, a base é um triângulo regular (ou seja, um triângulo equilátero) cujo lado é \,8\\ \text{cm}.\n
Fórmula que vamos usar para a área de um triângulo equilátero de lado a:\n
A_{\text{base}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.
Explicação dessa fórmula (passo-a-passo):\n
  • Se dividirmos o triângulo equilátero pela sua altura, obtemos dois triângulos retângulos 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ.\n
  • A altura do triângulo equilátero tem comprimento \,h_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a. (Isto vem das razões do triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ: cateto oposto a 60^\circ é \frac{\sqrt{3}}{2}a.)\n
  • A área do triângulo é \,A=\dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}=\dfrac{a\cdot h_{\triangle}}{2}=\dfrac{a\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a=8\\ \text{cm}:\n
A_{\text{base}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 8^{2}.
Calculemos passo a passo:\n
  • Primeiro 8^{2}=64.\n
  • Então \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 64 = 16\sqrt{3}.\n
    Portanto a área da base é \,16\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}.

Passo 4

Agora a área lateral do prisma: lembre que a superfície lateral de um prisma reto é composta por retângulos cujas alturas são iguais à altura do prisma e cujas bases são os lados da base do prisma.\n
Fórmula prática: a área lateral de um prisma é o produto do perímetro da base pela altura do prisma, ou seja,\n
A_{\text{lateral}}=P_{\text{base}}\cdot H,
onde P_{\text{base}} é o perímetro da base e H é a altura do prisma.\n
Explicando: cada lado do triângulo gerará um retângulo de largura igual ao lado e altura igual a H; somando as áreas desses retângulos obtemos P_{\text{base}}\cdot H.

Passo 5

Calcule o perímetro da base: para o triângulo equilátero com lado \,8\\ \text{cm}, temos\n
P_{\text{base}}=3\cdot 8 = 24\\ \text{cm}.
A altura do prisma é H=6\\ \text{cm}. Então\n
A_{\text{lateral}}=P_{\text{base}}\cdot H = 24\cdot 6 = 144.
Logo a área lateral é \,144\\ \text{cm}^{2}.

Passo 6

Área total do prisma: soma das áreas das duas bases mais a área lateral. Fórmula:\n
A_{\text{total}}=2\cdot A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}}.
Substituindo os valores que encontramos:\n
  • A_{\text{base}}=16\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}, então 2\cdot A_{\text{base}}=32\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}.\n
  • A_{\text{lateral}}=144\\ \text{cm}^{2}.\n
    Portanto\n
A_{\text{total}}=32\sqrt{3}+144\\ \text{cm}^{2}.

Resposta

a) 16\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}\n
b) 32\sqrt{3}+144\\ \text{cm}^{2}\n
c) 144\\ \text{cm}^{2}

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