- A aresta da base e a altura de um prisma regular triangular medem 8 cm e 6 cm , respectivamente. Calcule:
a) a área da base;
b) a área total;
c) a área lateral;
a) a área da base;
b) a área total;
c) a área lateral;
Passo 1
O enunciado dá um prisma triangular regular com as seguintes informações e pede três coisas.\n
Dados fornecidos:\n
Dados fornecidos:\n
- A aresta da base vale
.\n - A altura do prisma (distância entre as bases) vale
.\n
Pedidos do exercício:\n
a) Calcular a área da base.\n
b) Calcular a área total do prisma.\n
c) Calcular a área lateral do prisma.\n
Passo 2
Entendendo o que é a base: como o prisma é “regular triangular”, a base é um triângulo regular (ou seja, um triângulo equilátero) cujo lado é
.\n
Fórmula que vamos usar para a área de um triângulo equilátero de lado :\n
Fórmula que vamos usar para a área de um triângulo equilátero de lado
Explicação dessa fórmula (passo-a-passo):\n
- Se dividirmos o triângulo equilátero pela sua altura, obtemos dois triângulos retângulos
.\n - A altura do triângulo equilátero tem comprimento
. (Isto vem das razões do triângulo : cateto oposto a é .)\n - A área do triângulo é
Passo 3
Aplicando a fórmula com
:\n
Calculemos passo a passo:\n
- Primeiro
.\n - Então
\n
Portanto a área da base é
Passo 4
Agora a área lateral do prisma: lembre que a superfície lateral de um prisma reto é composta por retângulos cujas alturas são iguais à altura do prisma e cujas bases são os lados da base do prisma.\n
Fórmula prática: a área lateral de um prisma é o produto do perímetro da base pela altura do prisma, ou seja,\n
Fórmula prática: a área lateral de um prisma é o produto do perímetro da base pela altura do prisma, ou seja,\n
onde
é o perímetro da base e
é a altura do prisma.\n
Explicando: cada lado do triângulo gerará um retângulo de largura igual ao lado e altura igual a ; somando as áreas desses retângulos obtemos
.
Explicando: cada lado do triângulo gerará um retângulo de largura igual ao lado e altura igual a
Passo 5
Calcule o perímetro da base: para o triângulo equilátero com lado
, temos\n
A altura do prisma é
. Então\n
Logo a área lateral é
Passo 6
Área total do prisma: soma das áreas das duas bases mais a área lateral. Fórmula:\n
Substituindo os valores que encontramos:\n
-
, então .\n -
.\n
Portanto\n
Resposta
a)
\n
b) \n
c)
b)
c)