- Determine a área total de um prisma reto de 12 cm de altura e cuja base é um trapézio isósceles de altura 8 cm e de base 3 cm e 15 cm .
Passo 1
O enunciado dá um prisma reto com altura
cuja base é um trapézio isósceles. As informações sobre a base (o trapézio) são: altura do trapézio
e as duas bases paralelas têm comprimentos
e
. A pergunta é: determinar a área total do prisma (ou seja, a soma das áreas das faces laterais e das duas bases).
Informações listadas:
O que devemos encontrar:
Passo 2
Entender o que é necessário calcular — componentes da área total. A área total de um prisma reto é dada por:
Aqui:
-
é a soma das áreas das faces laterais (retângulos) e pode ser calculada como o perímetro da base multiplicado pela altura do prisma. -
é a área do trapézio dado.
Vou explicar as fórmulas usadas em detalhes para você reproduzir na prova.
Passo 3
Fórmula da área lateral de um prisma reto. Se
é o perímetro da base e
é a altura do prisma, então:
Aqui
é a soma dos comprimentos de todos os lados da base (no nosso caso, quatro lados do trapézio) e
é dado pelo enunciado (
).
Passo 4
Fórmula da área do trapézio (base do prisma). Se
e
são as bases paralelas do trapézio e
é a altura do trapézio (distância entre as bases), então:
Explicando as variáveis:
-
e são os comprimentos das duas bases paralelas (a menor e a maior). -
é a altura do trapézio (segmento perpendicular que une as duas bases).
Passo 5
Aplicando a fórmula da área do trapézio com os dados do enunciado:
,
,
. Então:
Façamos a conta passo a passo: primeiro some as bases,
Depois divida por
:
Multiplique pela altura do trapézio:
Portanto a área de uma base (um trapézio) é
Passo 6
Precisamos do perímetro do trapézio para calcular a área lateral do prisma. O perímetro é a soma dos quatro lados: as duas bases
e
e as duas laterais (os dois lados não paralelos). Como o trapézio é isósceles, essas duas laterais têm o mesmo comprimento — chamaremos esse comprimento de
. Então:
Passo 7
Como encontrar
(comprimento das laterais do trapézio isósceles). Em um trapézio isósceles, ao traçar as alturas, obtemos um triângulo retângulo cujos catetos são a altura do trapézio
e a metade da diferença entre as bases. A diferença entre as bases é
Metade dessa diferença (deslocamento horizontal de cada lateral) é
Assim cada lateral forma um triângulo retângulo com catetos
e
(onde
é a altura do trapézio). Pelo Teorema de Pitágoras, o comprimento da lateral
é
Passo 8
Calcule
numericamente. Primeiro as potências:
Somando:
Raiz quadrada:
Portanto cada lateral do trapézio mede
.
Passo 9
Agora calcule o perímetro
do trapézio usando
:
Passo 10
Calcule a área lateral do prisma usando a fórmula
, com
e
:
Façamos a multiplicação passo a passo:
Então
Passo 11
Agora a área total do prisma é
Substituindo os valores que já encontramos (
e
):
Calcule
:
Então:
Passo 12
Verificação rápida do resultado para evitar erro de contas: todas as operações são inteiras simples e parecem consistentes com os dados (perímetro plausível, área da base coerente). Portanto o valor final está correto.