1. Determine a área total de um prisma reto de 12 cm de altura e cuja base é um trapézio isósceles de altura 8 cm e de base 3 cm e 15 cm .

Passo 1

O enunciado dá um prisma reto com altura 12\\ \text{cm} cuja base é um trapézio isósceles. As informações sobre a base (o trapézio) são: altura do trapézio 8\\ \text{cm} e as duas bases paralelas têm comprimentos 3\\ \text{cm} e 15\\ \text{cm}. A pergunta é: determinar a área total do prisma (ou seja, a soma das áreas das faces laterais e das duas bases).
Informações listadas:
\text{altura do prisma } = 12\\ \text{cm}
\text{trapézio isósceles: altura } = 8\\ \text{cm},\quad \text{bases } = 3\\ \text{cm} \text{ e } 15\\ \text{cm}éó
O que devemos encontrar:
\text{área total do prisma} = ?á

Passo 2

Entender o que é necessário calcular — componentes da área total. A área total de um prisma reto é dada por:
\text{Área total} = \text{Área lateral} + 2\cdot\text{Área da base}.ÁÁÁ
Aqui:
  • \text{Área lateral}Á é a soma das áreas das faces laterais (retângulos) e pode ser calculada como o perímetro da base multiplicado pela altura do prisma.
  • \text{Área da base}Á é a área do trapézio dado.
Vou explicar as fórmulas usadas em detalhes para você reproduzir na prova.

Passo 3

Fórmula da área lateral de um prisma reto. Se P é o perímetro da base e H é a altura do prisma, então:
\text{Área lateral} = P\cdot H.Á
Aqui P é a soma dos comprimentos de todos os lados da base (no nosso caso, quatro lados do trapézio) e H é dado pelo enunciado ( 12\\ \text{cm}).

Passo 4

Fórmula da área do trapézio (base do prisma). Se b_1 e b_2 são as bases paralelas do trapézio e h_t é a altura do trapézio (distância entre as bases), então:
\text{Área do trapézio} = \frac{b_1 + b_2}{2}\cdot h_t.Áé
Explicando as variáveis:
  • b_1 e b_2 são os comprimentos das duas bases paralelas (a menor e a maior).
  • h_t é a altura do trapézio (segmento perpendicular que une as duas bases).

Passo 5

Aplicando a fórmula da área do trapézio com os dados do enunciado: b_1=3\\ \text{cm}, b_2=15\\ \text{cm}, h_t=8\\ \text{cm}. Então:
\text{Área da base} = \frac{3 + 15}{2}\cdot 8.Á
Façamos a conta passo a passo: primeiro some as bases,
3 + 15 = 18.
Depois divida por 2:
\frac{18}{2} = 9.
Multiplique pela altura do trapézio:
9 \cdot 8 = 72.
Portanto a área de uma base (um trapézio) é
\text{Área da base} = 72\\ \text{cm}^2.Á

Passo 6

Precisamos do perímetro do trapézio para calcular a área lateral do prisma. O perímetro é a soma dos quatro lados: as duas bases 3 e 15 e as duas laterais (os dois lados não paralelos). Como o trapézio é isósceles, essas duas laterais têm o mesmo comprimento — chamaremos esse comprimento de l. Então:
P = 3 + 15 + l + l = 18 + 2l.

Passo 7

Como encontrar l (comprimento das laterais do trapézio isósceles). Em um trapézio isósceles, ao traçar as alturas, obtemos um triângulo retângulo cujos catetos são a altura do trapézio h_t e a metade da diferença entre as bases. A diferença entre as bases é
15 - 3 = 12.
Metade dessa diferença (deslocamento horizontal de cada lateral) é
\frac{12}{2} = 6.
Assim cada lateral forma um triângulo retângulo com catetos 6 e 8 (onde 8 é a altura do trapézio). Pelo Teorema de Pitágoras, o comprimento da lateral l é
l = \sqrt{6^2 + 8^2}.

Passo 8

Calcule l numericamente. Primeiro as potências:
6^2 = 36,\qquad 8^2 = 64.
Somando:
36 + 64 = 100.
Raiz quadrada:
l = \sqrt{100} = 10.
Portanto cada lateral do trapézio mede 10\\ \text{cm}.

Passo 9

Agora calcule o perímetro P do trapézio usando l=10\\ \text{cm}:
P = 3 + 15 + 10 + 10 = 38\\ \text{cm}.

Passo 10

Calcule a área lateral do prisma usando a fórmula \text{Área lateral} = P\cdot HÁ, com P=38\\ \text{cm} e H=12\\ \text{cm}:
\text{Área lateral} = 38 \cdot 12.Á
Façamos a multiplicação passo a passo:
38 \cdot 10 = 380,\qquad 38 \cdot 2 = 76,
380 + 76 = 456.
Então
\text{Área lateral} = 456\\ \text{cm}^2.Á

Passo 11

Agora a área total do prisma é
\text{Área total} = \text{Área lateral} + 2\cdot\text{Área da base}.ÁÁÁ
Substituindo os valores que já encontramos ( \text{Área lateral}=456\\ \text{cm}^2Á e \text{Área da base}=72\\ \text{cm}^2Á):
\text{Área total} = 456 + 2\cdot 72.Á
Calcule 2\cdot 72:
2\cdot 72 = 144.
Então:
\text{Área total} = 456 + 144 = 600.Á

Passo 12

Verificação rápida do resultado para evitar erro de contas: todas as operações são inteiras simples e parecem consistentes com os dados (perímetro plausível, área da base coerente). Portanto o valor final está correto.

Resposta

\,600\\ \text{cm}^2

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