Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a diagonal da base da pirâmide mede 8 \sqrt{2} \mathrm{~cm} e a aresta lateral é igual à diagonal da base.

Passo 1

O enunciado pede a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular cuja base é um quadrado de diagonal d=8\sqrt{2}\,\mathrm{cm} e cujas arestas laterais têm comprimento igual a essa diagonal. Para resolver, vamos:
  1. determinar o valor do lado s do quadrado a partir de d;
  2. calcular a altura h de cada face lateral (triângulo isósceles);
  3. achar a área de uma face e multiplicar por 4.

Passo 2

Como a base é um quadrado de lado s, a diagonal satisfaz
d = s\sqrt{2} = 8\sqrt{2}.
Logo,
s = 8\,\mathrm{cm}.

Passo 3

Cada face lateral é um triângulo isósceles de base s=8 e lados iguais à aresta lateral l=8\sqrt{2}. A altura h desse triângulo vai do vértice (ápice) ao ponto médio da base, de modo que
h = \sqrt{l^2 - \bigl(\tfrac{s}{2}\bigr)^{2}} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 - 4^2} = \sqrt{128 - 16} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}\,\mathrm{cm}.

Passo 4

A área de uma face lateral é
A_{\text{face}} = \tfrac{1}{2}\,s\,h = \tfrac{1}{2}\times 8 \times 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7}\,\mathrm{cm}^2.
Como são quatro faces congruentes, a área lateral total é
A_{\text{lat}} = 4 \times 16\sqrt{7} = 64\sqrt{7}\,\mathrm{cm}^2.

Resposta

A área lateral da pirâmide é 64\sqrt{7}\,\mathrm{cm}^2.

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