A aresta lateral de um tronco de pirâmide triangular regular mede 4 m e forma um ângulo de 60^{\circ} com a base maior. O raio do círculo circunscrito à maior base mede 4 m . Encontre o volume do tronco de pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide triangular regular com as seguintes informações:
  • A aresta lateral tem comprimento \:4\:\text{m}.
  • Essa aresta lateral forma um ângulo de \:60^\circ com a base maior.
  • O raio do círculo circunscrito à base maior mede \:4\:\text{m}.
    A pergunta é: encontrar o volume do tronco de pirâmide.

Passo 2

Entender a base maior (triângulo equilátero). Para um triângulo equilátero de lado s, o raio do circuncírculo R satisfaz
R=\frac{s}{\sqrt{3}}.
Aqui nos deram o raio da base maior \,R_1=4\:\text{m}. Então o lado da base maior s_1 é
s_1=R_1\sqrt{3}=4\sqrt{3}\:\text{m}.
A área de um triângulo equilátero de lado s é
A=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2.
Aplicando ao caso da base maior:
A_1=\frac{\sqrt{3}}{4}s_1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(4\sqrt{3}\bigr)^2.
Agora calculamos passo a passo:
\bigl(4\sqrt{3}\bigr)^2=16\cdot 3=48,
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A_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 48=12\sqrt{3}\:\text{m}^2.

Passo 3

Achar a altura vertical do tronco. A aresta lateral tem comprimento \,l=4\:\text{m} e faz ângulo \,60^\circ com o plano da base maior. A componente vertical (altura do tronco) é dada por projetar essa aresta na direção perpendicular ao plano, isto é
h=l\sin 60^\circ.
Como \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
h=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\:\text{m}.

Passo 4

Achar o raio da base menor usando a projeção horizontal da aresta lateral. A projeção da aresta lateral no plano da base tem comprimento
l_{\text{proj}}=l\cos 60^\circ=4\cdot\frac{1}{2}=2\:\text{m}.
Num tronco de pirâmide triangular regular as bases são triângulos equiláteros concentricos e correspondentes vértices estão na mesma direção radial; assim a distância radial entre um vértice da base maior e o vértice correspondente da base menor é exatamente R_1-R_2. Essa distância é a projeção horizontal da aresta, portanto
R_1-R_2=l_{\text{proj}}.
Com R_1=4\:\text{m} e l_{\text{proj}}=2\:\text{m}, vem
R_2=R_1-2=4-2=2\:\text{m}.

Passo 5

Calcular lado e área da base menor. Usando a relação s=R\sqrt{3} para o triângulo equilátero, o lado da base menor é
s_2=R_2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\:\text{m}.
A área da base menor é
A_2=\frac{\sqrt{3}}{4}s_2^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(2\sqrt{3}\bigr)^2.
Calculando:
\bigl(2\sqrt{3}\bigr)^2=4\cdot 3=12,
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A_2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 12=3\sqrt{3}\:\text{m}^2.

Passo 6

Fórmula do volume do tronco de pirâmide (frustum) — mini-aula rápida: para um tronco de pirâmide a altura h e as áreas das bases A_1 (maior) e A_2 (menor) dão o volume
V=\frac{h}{3}\bigl(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\bigr).
Essa fórmula vem da subtração de volumes de pirâmides semelhantes ou da integração por semelhança das secções transversais; o importante para a prova é decorar e saber aplicar com cuidado.

Passo 7

Aplicar a fórmula com os valores encontrados: h=2\sqrt{3}, A_1=12\sqrt{3}, A_2=3\sqrt{3}. Primeiro calcular A_1A_2:
A_1A_2=(12\sqrt{3})(3\sqrt{3})=36\cdot (\sqrt{3}\sqrt{3})=36\cdot 3=108.
Então
\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}.
Somando as áreas:
A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}=12\sqrt{3}+3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=21\sqrt{3}.

Passo 8

Agora o volume:
V=\frac{h}{3}\bigl(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\bigr)=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot 21\sqrt{3}.
Multiplicando:
\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot 21\sqrt{3}=\frac{2}{3}\cdot 21\cdot (\sqrt{3}\sqrt{3})=\frac{2}{3}\cdot 21\cdot 3=\frac{2}{3}\cdot 63=42.
Portanto o volume é 42 metros cúbicos.

Resposta

42\:\text{m}^3

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