A aresta lateral de um tronco de pirâmide triangular regular mede 4 m e forma um ângulo de
com a base maior. O raio do círculo circunscrito à maior base mede 4 m . Encontre o volume do tronco de pirâmide.
Passo 1
O enunciado dá um tronco de pirâmide triangular regular com as seguintes informações:
- A aresta lateral tem comprimento
. - Essa aresta lateral forma um ângulo de
com a base maior. - O raio do círculo circunscrito à base maior mede
.
A pergunta é: encontrar o volume do tronco de pirâmide.
Passo 2
Entender a base maior (triângulo equilátero). Para um triângulo equilátero de lado
, o raio do circuncírculo
satisfaz
Aqui nos deram o raio da base maior
. Então o lado da base maior
é
A área de um triângulo equilátero de lado
é
Aplicando ao caso da base maior:
Agora calculamos passo a passo:
logo
Passo 3
Achar a altura vertical do tronco. A aresta lateral tem comprimento
e faz ângulo
com o plano da base maior. A componente vertical (altura do tronco) é dada por projetar essa aresta na direção perpendicular ao plano, isto é
Como
, obtemos
Passo 4
Achar o raio da base menor usando a projeção horizontal da aresta lateral. A projeção da aresta lateral no plano da base tem comprimento
Num tronco de pirâmide triangular regular as bases são triângulos equiláteros concentricos e correspondentes vértices estão na mesma direção radial; assim a distância radial entre um vértice da base maior e o vértice correspondente da base menor é exatamente
. Essa distância é a projeção horizontal da aresta, portanto
Com
e
, vem
Passo 5
Calcular lado e área da base menor. Usando a relação
para o triângulo equilátero, o lado da base menor é
A área da base menor é
Calculando:
logo
Passo 6
Fórmula do volume do tronco de pirâmide (frustum) — mini-aula rápida: para um tronco de pirâmide a altura
e as áreas das bases
(maior) e
(menor) dão o volume
Essa fórmula vem da subtração de volumes de pirâmides semelhantes ou da integração por semelhança das secções transversais; o importante para a prova é decorar e saber aplicar com cuidado.
Passo 7
Aplicar a fórmula com os valores encontrados:
,
,
. Primeiro calcular
:
Então
Somando as áreas:
Passo 8
Agora o volume:
Multiplicando:
Portanto o volume é
metros cúbicos.