Um tronco de pirâmide tem por bases dois octógonos regulares cujos lados medem 4 cm e 2 cm , respectivamente. A altura do tronco é de 12 cm . Determine o volume do tronco de pirâmide, bem como o volume da pirâmide total na qual está contido o tronco.
Passo 1
O enunciado dá um tronco de pirâmide cujas bases são dois octógonos regulares. Dados importantes que preciso listar claramente:
- lado do octógono maior:
; - lado do octógono menor:
; - altura do tronco (distância entre as duas bases):
.
Perguntas a responder:
- Determinar o volume do tronco de pirâmide (tronco).
- Determinar o volume da pirâmide total na qual o tronco está contido (pirâmide completa cuja base é o octógono maior e cujo auge está acima da base menor).
Passo 2
Primeiro preciso calcular as áreas das bases (os dois octógonos regulares). Vou lembrar e explicar a fórmula geral da área de um polígono regular:
- Para um polígono regular com
lados de comprimento , a área é
Explicação curta e intuitiva: dividir o polígono em
triângulos isósceles com base
e apótema
; a área de cada triângulo é
; usando relações trigonométricas obtém-se a fórmula acima com
.
Agora aplico ao octógono, onde
. Substituindo
na fórmula:
Preciso do valor de
. Uso uma identidade trigonométrica de meia-ângulo. Para
(ou
) temos
Tomando
dá
Portanto
Portanto
(Usei a razão:
.)
Substituindo na fórmula da área do octógono:
Passo 3
Calculo das áreas das duas bases usando
e
.
Área da base maior:
Área da base menor:
Essas são expressões exatas em função de
.
Passo 4
Agora a fórmula do volume do tronco (tronco de pirâmide ou tronco de pirâmide com bases paralelas e áreas
e
e altura
) é:
Breve motivação: deriva-se por semelhança de pirâmides ou por integração — é a fórmula padrão para tronco de pirâmide.
Aqui
,
,
. Vou calcular
:
logo
(pego a raiz quadrada, o fator positivo).
Somando as três parcelas dentro do parêntese:
Substituindo na fórmula do volume do tronco:
Esse é o valor exato em
. Para ter uma aproximação numérica, uso
, então
e
Passo 5
Agora encontro o volume da pirâmide total que contém o tronco. Raciocínio por semelhança linear entre triângulos/pirâmides:
- As bases (octógonos) são semelhantes entre si, portanto as dimensões lineares (lados, apótemas, etc.) escalam na mesma razão. A razão linear entre a base menor e a maior é
- Em uma pirâmide, alturas e todas as dimensões lineares também escalam com a mesma razão entre pirâmide menor (a pirâmide que foi cortada e removida no topo) e a pirâmide total. Se
é a altura da pirâmide total e a altura da pirâmide superior cortada, então
- A altura do tronco é a diferença das alturas:
. Sabendo que e , segue
Assim a pirâmide total tem altura
e a pirâmide pequena removida tem altura
.
Passo 6
Volume da pirâmide total: fórmula padrão do volume de uma pirâmide com base de área
e altura
é
Aqui a base da pirâmide total é a base maior com área
e
. Então
Faço as contas:
portanto
Aproximação numérica:
Passo 7
Verificação rápida (sanity check) somando volume do tronco com o volume da pirâmide pequena do topo:
- Volume da pirâmide pequena:
- Soma:
. Está consistente.