Um tronco de pirâmide tem por bases dois octógonos regulares cujos lados medem 4 cm e 2 cm , respectivamente. A altura do tronco é de 12 cm . Determine o volume do tronco de pirâmide, bem como o volume da pirâmide total na qual está contido o tronco.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide cujas bases são dois octógonos regulares. Dados importantes que preciso listar claramente:
  • lado do octógono maior: \,4\\ \text{cm}\,;
  • lado do octógono menor: \,2\\ \text{cm}\,;
  • altura do tronco (distância entre as duas bases): \,12\\ \text{cm}\,.
    Perguntas a responder:
  1. Determinar o volume do tronco de pirâmide (tronco).
  2. Determinar o volume da pirâmide total na qual o tronco está contido (pirâmide completa cuja base é o octógono maior e cujo auge está acima da base menor).

Passo 2

Primeiro preciso calcular as áreas das bases (os dois octógonos regulares). Vou lembrar e explicar a fórmula geral da área de um polígono regular:
  • Para um polígono regular com n lados de comprimento s, a área é
A=\frac{1}{4}n s^{2}\cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right).
Explicação curta e intuitiva: dividir o polígono em n triângulos isósceles com base s e apótema a; a área de cada triângulo é \tfrac{1}{2} s a; usando relações trigonométricas obtém-se a fórmula acima com \cot(\pi/n)=a/(s/2).
Agora aplico ao octógono, onde n=8. Substituindo n=8 na fórmula:
A= \frac{1}{4}\cdot 8\cdot s^{2}\cot\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=2s^{2}\cot\!\left(\frac{\pi}{8}\right).
Preciso do valor de \cot\!\left(\frac{\pi}{8}\right). Uso uma identidade trigonométrica de meia-ângulo. Para \theta= \frac{\pi}{4} (ou 45^\circ) temos
\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}.
Tomando \theta=\frac{\pi}{4} \tan\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1-\cos(\pi/4)}{\sin(\pi/4)}=\frac{1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}-1.
Portanto
\cot\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{\tan\!\left(\frac{\pi}{8}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1.
(Usei a razão: \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1.)
Substituindo na fórmula da área do octógono:
A = 2 s^{2}(\sqrt{2}+1).

Passo 3

Calculo das áreas das duas bases usando s_{1}=4 e s_{2}=2.
Área da base maior:
A_{1}=2\cdot 4^{2}\cdot(\sqrt{2}+1)=2\cdot 16\cdot(\sqrt{2}+1)=32(\sqrt{2}+1).
Área da base menor:
A_{2}=2\cdot 2^{2}\cdot(\sqrt{2}+1)=2\cdot 4\cdot(\sqrt{2}+1)=8(\sqrt{2}+1).
Essas são expressões exatas em função de \sqrt{2}.

Passo 4

Agora a fórmula do volume do tronco (tronco de pirâmide ou tronco de pirâmide com bases paralelas e áreas A_{1} e A_{2} e altura h) é:
V_{\text{tronco}}=\frac{h}{3}\left(A_{1}+A_{2}+\sqrt{A_{1}A_{2}}\right).
Breve motivação: deriva-se por semelhança de pirâmides ou por integração — é a fórmula padrão para tronco de pirâmide.
Aqui h=12\\ \text{cm}, A_{1}=32(\sqrt{2}+1), A_{2}=8(\sqrt{2}+1). Vou calcular \sqrt{A_{1}A_{2}}:
A_{1}A_{2}=32(\sqrt{2}+1)\cdot 8(\sqrt{2}+1)=256(\sqrt{2}+1)^{2},
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\sqrt{A_{1}A_{2}}=16(\sqrt{2}+1)
(pego a raiz quadrada, o fator positivo).
Somando as três parcelas dentro do parêntese:
A_{1}+A_{2}+\sqrt{A_{1}A_{2}}=32(\sqrt{2}+1)+8(\sqrt{2}+1)+16(\sqrt{2}+1)=56(\sqrt{2}+1).
Substituindo na fórmula do volume do tronco:
V_{\text{tronco}}=\frac{12}{3}\cdot 56(\sqrt{2}+1)=4\cdot 56(\sqrt{2}+1)=224(\sqrt{2}+1).
Esse é o valor exato em \mathrm{cm}^{3}. Para ter uma aproximação numérica, uso \sqrt{2}\approx 1,41421356, então \sqrt{2}+1\approx 2,41421356 e
V_{\text{tronco}}\approx 224\cdot 2,41421356\approx 540,78\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 5

Agora encontro o volume da pirâmide total que contém o tronco. Raciocínio por semelhança linear entre triângulos/pirâmides:
  • As bases (octógonos) são semelhantes entre si, portanto as dimensões lineares (lados, apótemas, etc.) escalam na mesma razão. A razão linear entre a base menor e a maior é
k=\frac{\text{lado menor}}{\text{lado maior}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
  • Em uma pirâmide, alturas e todas as dimensões lineares também escalam com a mesma razão entre pirâmide menor (a pirâmide que foi cortada e removida no topo) e a pirâmide total. Se H é a altura da pirâmide total e h_{\text{pequena}} a altura da pirâmide superior cortada, então
\frac{h_{\text{pequena}}}{H}=k=\frac{1}{2}.
  • A altura do tronco é a diferença das alturas: h_{\text{tronco}}=H-h_{\text{pequena}}. Sabendo que h_{\text{tronco}}=12 e h_{\text{pequena}}=\tfrac{1}{2}H, segue
12=H-\frac{1}{2}H=\frac{1}{2}H\quad\Rightarrow\quad H=24\\ \text{cm}.
Assim a pirâmide total tem altura H=24\\ \text{cm} e a pirâmide pequena removida tem altura h_{\text{pequena}}=12\\ \text{cm}.

Passo 6

Volume da pirâmide total: fórmula padrão do volume de uma pirâmide com base de área A e altura H é
V_{\text{pirâmide}}=\frac{1}{3}A\cdot H.â
Aqui a base da pirâmide total é a base maior com área A_{1}=32(\sqrt{2}+1) e H=24. Então
V_{\text{pirâmide}}=\frac{1}{3}\cdot 32(\sqrt{2}+1)\cdot 24.â
Faço as contas:
\frac{1}{3}\cdot 32\cdot 24 = 32\cdot 8 =256,
portanto
V_{\text{pirâmide}}=256(\sqrt{2}+1).â
Aproximação numérica:
V_{\text{pirâmide}}\approx 256\cdot 2,41421356\approx 618,04\\ \mathrm{cm}^{3}.â

Passo 7

Verificação rápida (sanity check) somando volume do tronco com o volume da pirâmide pequena do topo:
  • Volume da pirâmide pequena: \displaystyle V_{\text{pequena}}=\frac{1}{3}A_{2}\cdot h_{\text{pequena}}=\frac{1}{3}\cdot 8(\sqrt{2}+1)\cdot 12=32(\sqrt{2}+1).
  • Soma: V_{\text{tronco}}+V_{\text{pequena}}=224(\sqrt{2}+1)+32(\sqrt{2}+1)=256(\sqrt{2}+1)=V_{\text{pirâmide}}â. Está consistente.

Resposta

V_{\text{tronco}}=224(\sqrt{2}+1)\\ \mathrm{cm}^{3}\approx 540,78\\ \mathrm{cm}^{3}
V_{\text{pirâmide}}=256(\sqrt{2}+1)\\ \mathrm{cm}^{3}\approx 618,04\\ \mathrm{cm}^{3}â

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