O apótema de um tronco de pirâmide regular tem 5 cm ; as bases são quadrados de 4 cm e 10 cm . Calcule o volume.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide regular com as seguintes informações e pede o volume:
  • Apótema do tronco (ou seja, a altura inclinada da face lateral entre as bases): 5\\ \text{cm}.
  • As bases são quadrados com lados 4\\ \text{cm} (base menor) e 10\\ \text{cm} (base maior).
  • Pergunta: calcular o volume do tronco de pirâmide.

Passo 2

Entendendo a relação entre apótema, altura vertical e meia-diferença das bases (a ideia chave): se você olhar a pirâmide regular centrada, o segmento que liga o ponto médio de um lado da base menor ao ponto médio do lado correspondente da base maior é horizontal e tem comprimento igual a metade da diferença dos lados das bases. Esse segmento, junto com a altura vertical h do tronco e com o apótema a, formam um triângulo retângulo. Portanto vale o Teorema de Pitágoras para esse triângulo:
a^{2}=h^{2}+\left(\frac{b_{2}-b_{1}}{2}\right)^{2},
onde a é o apótema do tronco, h é a altura vertical que queremos encontrar, b_{1} é o lado da base menor e b_{2} o lado da base maior. Vou explicar cada símbolo: a é a medida inclinada dada; h é a distância vertical entre as bases; \frac{b_{2}-b_{1}}{2} é a metade da diferença dos lados (o deslocamento horizontal entre os pontos médios).

Passo 3

Calcule a meia-diferença dos lados das bases e use o apótema para encontrar a altura h.
A meia-diferença é
\frac{b_{2}-b_{1}}{2}=\frac{10-4}{2}=3\\ \text{cm}.
Substituindo na relação do Pitágoras com a=5\\ \text{cm}:
5^{2}=h^{2}+3^{2}.
Isso dá
25=h^{2}+9,
logo
h^{2}=25-9=16,
e portanto
h=\sqrt{16}=4\\ \text{cm}.

Passo 4

Fórmula do volume do tronco de pirâmide (explicação didática): para um tronco de pirâmide cujas bases têm áreas A_{1} e A_{2} e altura h, a fórmula do volume é
V=\frac{h}{3}\left(A_{1}+A_{2}+\sqrt{A_{1}A_{2}}\right).
O que essa fórmula diz em palavras: o volume é a média especial das áreas das bases (incluindo a média geométrica \sqrt{A_{1}A_{2}}) multiplicada por h/3. Essa expressão resulta de considerar um grande pirâmide e subtrair o volume da pirâmide menor (a parte que foi cortada), usando semelhança entre as figuras; não precisa decorar só “no ouvido”: basta lembrar que é a fórmula padrão para troncos de pirâmide (ou de cones generalizados). Aqui A_{1} é a área da base menor, A_{2} a da base maior.

Passo 5

Calcule as áreas das bases e a raiz da área geométrica:
A_{1}=4^{2}=16\\ \text{cm}^{2},
A_{2}=10^{2}=100\\ \text{cm}^{2},
\sqrt{A_{1}A_{2}}=\sqrt{16\cdot100}=\sqrt{1600}=40\\ \text{cm}^{2}.
Agora some:
A_{1}+A_{2}+\sqrt{A_{1}A_{2}}=16+100+40=156\\ \text{cm}^{2}.

Passo 6

Substitua h=4\\ \text{cm} e a soma das áreas na fórmula do volume:
V=\frac{h}{3}\left(A_{1}+A_{2}+\sqrt{A_{1}A_{2}}\right)=\frac{4}{3}\cdot 156.
Calcule:
\frac{156}{3}=52\quad\Rightarrow\quad V=4\cdot52=208.
Portanto o volume é 208 com unidades de volume em centímetros cúbicos.

Resposta

208\\ \text{cm}^{3}

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