O apótema de um tronco de pirâmide regular tem 5 cm ; as bases são quadrados de 4 cm e 10 cm . Calcule o volume.
Passo 1
O enunciado dá um tronco de pirâmide regular com as seguintes informações e pede o volume:
- Apótema do tronco (ou seja, a altura inclinada da face lateral entre as bases):
. - As bases são quadrados com lados
(base menor) e (base maior). - Pergunta: calcular o volume do tronco de pirâmide.
Passo 2
Entendendo a relação entre apótema, altura vertical e meia-diferença das bases (a ideia chave): se você olhar a pirâmide regular centrada, o segmento que liga o ponto médio de um lado da base menor ao ponto médio do lado correspondente da base maior é horizontal e tem comprimento igual a metade da diferença dos lados das bases. Esse segmento, junto com a altura vertical
do tronco e com o apótema
, formam um triângulo retângulo. Portanto vale o Teorema de Pitágoras para esse triângulo:
onde
é o apótema do tronco,
é a altura vertical que queremos encontrar,
é o lado da base menor e
o lado da base maior. Vou explicar cada símbolo:
é a medida inclinada dada;
é a distância vertical entre as bases;
é a metade da diferença dos lados (o deslocamento horizontal entre os pontos médios).
Passo 3
Calcule a meia-diferença dos lados das bases e use o apótema para encontrar a altura
.
A meia-diferença é
Substituindo na relação do Pitágoras com
:
Isso dá
logo
e portanto
Passo 4
Fórmula do volume do tronco de pirâmide (explicação didática): para um tronco de pirâmide cujas bases têm áreas
e
e altura
, a fórmula do volume é
O que essa fórmula diz em palavras: o volume é a média especial das áreas das bases (incluindo a média geométrica
) multiplicada por
. Essa expressão resulta de considerar um grande pirâmide e subtrair o volume da pirâmide menor (a parte que foi cortada), usando semelhança entre as figuras; não precisa decorar só “no ouvido”: basta lembrar que é a fórmula padrão para troncos de pirâmide (ou de cones generalizados). Aqui
é a área da base menor,
a da base maior.
Passo 5
Calcule as áreas das bases e a raiz da área geométrica:
Agora some:
Passo 6
Substitua
e a soma das áreas na fórmula do volume:
Calcule:
Portanto o volume é
com unidades de volume em centímetros cúbicos.