Determine a área total de um tronco de pirâmide quadrangular regular, sendo 8 cm e 6 cm as medidas dos lados das bases inferior e superior, sabendo que as faces laterais formam um ângulo de
a base maior do tronco de pirâmide.
Passo 1
O enunciado pede a área total de um tronco de pirâmide quadrangular regular. As informações que nos foram dadas são:
- lado da base maior:
- lado da base menor:
- as faces laterais formam um ângulo de
com a base maior do tronco.
O que precisamos encontrar é a área total, isto é, a soma da área das duas bases (quadrados) mais a área das quatro faces laterais (quatro trapézios congruentes).
Passo 2
Vamos entender a geometria do tronco e como usar o ângulo dado. Como é tronco de pirâmide quadrangular regular, as bases são quadrados concêntricos e alinhados. Então os centros coincidem; a metade do lado da base maior é
(pois
) e a metade do lado da base menor é
(pois
). Portanto, a distância horizontal entre as arestas correspondentes (do meio de um lado maior até o meio do lado menor, medida no plano da base) é
Essa distância é o “adjacente” quando consideramos o segmento na face lateral que vai do ponto médio da aresta maior até o ponto médio da aresta menor (esse segmento é o valor que chamamos de altura do trapézio lateral, ou seja, a geratriz / slant height da face lateral).
Passo 3
Interpretação do ângulo: a afirmação “a face lateral forma
com a base” significa que a reta na face lateral, perpendicular às arestas paralelas (isto é, a geratriz que liga os pontos médios das arestas), faz ângulo de
com o plano da base. Logo, se chamarmos essa geratriz de
(slant height), sua projeção horizontal sobre o plano da base tem comprimento
(o offset calculado). Na trigonometria do triângulo formado por
(hipotenusa), a sua projeção horizontal (adjacente) e a projeção vertical (a altura do tronco, não necessária para a área lateral mas útil para entender), vale:
Como
, temos
Passo 4
Podemos também achar a altura vertical do tronco (apenas para completar a intuição). A componente vertical é
Não precisamos de
para a área lateral, mas fica claro que o tronco é razoavelmente “baixo” — isso ajuda a visualizar.
Passo 5
Área de uma face lateral: cada face lateral é um trapézio cujos lados paralelos têm comprimentos
e
, e cuja altura (a distância entre essas bases paralelas medida na face) é a geratriz
. A fórmula da área do trapézio é
Aplicando aqui:
Passo 6
Como há quatro faces laterais congruentes, a área lateral total é
As áreas das bases são as áreas dos quadrados:
Somando tudo, a área total do tronco é