Determine a área total de um tronco de pirâmide quadrangular regular, sendo 8 cm e 6 cm as medidas dos lados das bases inferior e superior, sabendo que as faces laterais formam um ângulo de 60^{\circ} \mathrm{com} a base maior do tronco de pirâmide.

Passo 1

O enunciado pede a área total de um tronco de pirâmide quadrangular regular. As informações que nos foram dadas são:
  • lado da base maior: \,8\\ \text{cm}
  • lado da base menor: \,6\\ \text{cm}
  • as faces laterais formam um ângulo de \,60^\circ com a base maior do tronco.
O que precisamos encontrar é a área total, isto é, a soma da área das duas bases (quadrados) mais a área das quatro faces laterais (quatro trapézios congruentes).

Passo 2

Vamos entender a geometria do tronco e como usar o ângulo dado. Como é tronco de pirâmide quadrangular regular, as bases são quadrados concêntricos e alinhados. Então os centros coincidem; a metade do lado da base maior é \,4\\ \text{cm} (pois \,8/2=4) e a metade do lado da base menor é \,3\\ \text{cm} (pois \,6/2=3). Portanto, a distância horizontal entre as arestas correspondentes (do meio de um lado maior até o meio do lado menor, medida no plano da base) é
\text{offset} = 4-3 = 1\\ \text{cm}.
Essa distância é o “adjacente” quando consideramos o segmento na face lateral que vai do ponto médio da aresta maior até o ponto médio da aresta menor (esse segmento é o valor que chamamos de altura do trapézio lateral, ou seja, a geratriz / slant height da face lateral).

Passo 3

Interpretação do ângulo: a afirmação “a face lateral forma \,60^\circ com a base” significa que a reta na face lateral, perpendicular às arestas paralelas (isto é, a geratriz que liga os pontos médios das arestas), faz ângulo de \,60^\circ com o plano da base. Logo, se chamarmos essa geratriz de \,s (slant height), sua projeção horizontal sobre o plano da base tem comprimento \,1\\ \text{cm} (o offset calculado). Na trigonometria do triângulo formado por \,s (hipotenusa), a sua projeção horizontal (adjacente) e a projeção vertical (a altura do tronco, não necessária para a área lateral mas útil para entender), vale:
\cos 60^\circ = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{1}{s}.
Como \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}, temos
\tfrac{1}{2} = \frac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad s = 2\\ \text{cm}.

Passo 4

Podemos também achar a altura vertical do tronco (apenas para completar a intuição). A componente vertical é
h = s\sin 60^\circ = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\\ \text{cm}.
Não precisamos de h para a área lateral, mas fica claro que o tronco é razoavelmente “baixo” — isso ajuda a visualizar.

Passo 5

Área de uma face lateral: cada face lateral é um trapézio cujos lados paralelos têm comprimentos \,8\\ \text{cm} e \,6\\ \text{cm}, e cuja altura (a distância entre essas bases paralelas medida na face) é a geratriz \,s. A fórmula da área do trapézio é
\text{área do trapézio} = \frac{(\text{base maior}+\text{base menor})}{2}\times (\text{altura}).áé
Aplicando aqui:
\text{área de uma face lateral} = \frac{8+6}{2}\cdot s = 7\cdot 2 = 14\\ \text{cm}^2.á

Passo 6

Como há quatro faces laterais congruentes, a área lateral total é
\text{área lateral total} = 4\cdot 14 = 56\\ \text{cm}^2.á
As áreas das bases são as áreas dos quadrados:
\text{base maior} = 8^2 = 64\\ \text{cm}^2,\qquad \text{base menor} = 6^2 = 36\\ \text{cm}^2.
Somando tudo, a área total do tronco é
\text{área total} = 64 + 36 + 56 = 156\\ \text{cm}^2.á

Resposta

\,156\\ \text{cm}^2

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