A argumentação abaixo contém erros nos cálculos. Copie-a em sua prova, corrigindo-os.
"Seja z0 um zero de f de multiplicidade k e seja g(z) uma função tal que f^prime(z)=k(z-z0)^k-1 g(z)-(z-z0)^k g(z) e f^prime(z)f(z)=kz-z0-g^prime(z)g(z) pi , com g^prime(z) / g(z). Podemos escrever que
z0
Como z0, segue-se que f^prime(z) / f(z) não tem singularidades em z0 e, portanto, é analítica em k, o que implica que o resíduo de gamma em z0 é 1pi j integralgamma f^prime(z)f(z) d z=Res[f, z0]=k " .
Pelo teorema do resíduo, se é uma curva fechada simples que conténha o ponto , então

Passo 1

O enunciado pede para corrigirmos os erros na derivação de uma função complexa e na aplicação do teorema do argumento (princípio do argumento) para contar zeros de multiplicidade k. O conteúdo envolve regra do produto para derivadas em função f(z)=(z−z₀)ᵏg(z), o cálculo de f′/f, a definição de resíduo e o enunciado correto do teorema do argumento.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto para derivar f(z)=(z−z₀)ᵏg(z). Como (z−z₀)ᵏ tem derivada k(z−z₀)ᵏ⁻¹, temos:
f'(z)=k(z-z0)^k-1g(z)+(z-z0)^kg'(z)
Dividindo f′(z) por f(z)=(z−z₀)ᵏg(z), obtemos:
f'(z)f(z)=k(z-z0)^k-1g(z)+(z-z0)^kg'(z)(z-z0)^kg(z)=kz-z0+g'(z)g(z)

Passo 3

Como g(z₀)≠0, a função g’(z)/g(z) é analítica em z₀ (não tem polo ali). Logo o único termo singular de f′/f em z₀ é k/(z−z₀), cujo resíduo é k.

Passo 4

Pelo princípio do argumento (ou teorema do resíduo aplicado a f′/f), se γ é um contorno simples que envolve z₀ e nenhuma outra singularidade, tem-se
integralgammaf'(z)f(z),dz=2pi i,k,
que equivale a
12pi iintegralgammaf'(z)f(z),dz=k

Resposta

Seja z₀ zero de multiplicidade k de f e f(z)=(z−z₀)ᵏg(z) com g(z₀)≠0. Então
f'(z)=k(z-z₀)^k-1g(z)+(z-z₀)^kg'(z),
f'(z)f(z)=kz-z₀+g'(z)g(z)
Como g’(z)/g(z) é analítica em z₀, o resíduo de f’/f em z₀ é k. Finalmente, pelo teorema do argumento,
12pi iintegralgammaf'(z)f(z),dz=k

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