A argumentação abaixo contém erros nos cálculos. Copie-a em sua prova, corrigindo-os.
"Seja
um zero de
de multiplicidade
e seja
uma função tal que
, com
. Podemos escrever que
Como
, segue-se que
não tem singularidades em
e, portanto, é analítica em
, o que implica que o resíduo de
em
é
.
Pelo teorema do resíduo, se
é uma curva fechada simples que conténha o ponto
, então
"Seja
Passo 1
O enunciado pede para corrigirmos os erros na derivação de uma função complexa e na aplicação do teorema do argumento (princípio do argumento) para contar zeros de multiplicidade k. O conteúdo envolve regra do produto para derivadas em função f(z)=(z−z₀)ᵏg(z), o cálculo de f′/f, a definição de resíduo e o enunciado correto do teorema do argumento.
Passo 2
Aplicamos a regra do produto para derivar f(z)=(z−z₀)ᵏg(z). Como (z−z₀)ᵏ tem derivada k(z−z₀)ᵏ⁻¹, temos:
Dividindo f′(z) por f(z)=(z−z₀)ᵏg(z), obtemos:
Passo 3
Como g(z₀)≠0, a função g’(z)/g(z) é analítica em z₀ (não tem polo ali). Logo o único termo singular de f′/f em z₀ é k/(z−z₀), cujo resíduo é k.
Passo 4
Pelo princípio do argumento (ou teorema do resíduo aplicado a f′/f), se γ é um contorno simples que envolve z₀ e nenhuma outra singularidade, tem-se
que equivale a
Resposta
Seja z₀ zero de multiplicidade k de f e f(z)=(z−z₀)ᵏg(z) com g(z₀)≠0. Então
Como g’(z)/g(z) é analítica em z₀, o resíduo de f’/f em z₀ é k. Finalmente, pelo teorema do argumento,