Determine o número natural x tal que:
x=0,0666 cdots0,0606060 cdots+0,1 30,2222 cdots23

Passo 1

O enunciado pede para achar um número natural x dado por
x = 0,0666ldots0,060606ldots + 0,1 cdot 30,2222ldots23
Vamos precisar converter dízimas periódicas em frações e depois fazer operações com frações.

Passo 2

Seja y = 0,0666ldots. Multiplicando por 10: 10y = 0,6666ldots = tfrac23. Logo
10y = tfrac23 implies y = tfrac230 = tfrac115
Portanto 0,0666ldots = tfrac115

Passo 3

Seja z = 0,060606ldots. Multiplicando por 100: 100z = 6,0606ldots. Subtraindo z:
100z - z = 6 implies 99z = 6 implies z = tfrac699 = tfrac233
Assim a primeira fração é
0,0666ldots0,060606ldots = tfrac115tfrac233 = 115 cdot 332 = 1110 = 1,1

Passo 4

Para o segundo termo, note que 0,2222ldots = tfrac29 Então
0,2222ldotstfrac23 = tfrac29tfrac23 = tfrac13
Logo
0,1 cdot 3tfrac13 = 0,1 cdot 9 = 0,9

Passo 5

Somando os dois resultados:
x = 1,1 + 0,9 = 2
Portanto o número natural procurado é 2.

Resposta

2

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