Derive e simplifique.
y=(arcsen 2 x)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=(arcsen(2x))^2. O conteúdo principal é derivação de função composta: vamos usar a regra da cadeia e a derivada de arcsen(u).

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia: se y=f(g(x)) então y'=f'(g(x)),g'(x). Aqui f(u)=u^2 e g(x)=arcsen(2x), logo temos
y'=2,l(arcsen(2x)r)cdotddxl(arcsen(2x)r)

Passo 3

Para derivar arcsen(u) usamos a fórmula tfracddx(arcsen(u))=tfracu'raiz1-u^2. Com u=2x vem u'=2 e 1-u^2=1-(2x)^2=1-4x^2. Substituindo em y' e simplificando, obtemos
y'=2,arcsen(2x)cdot2raiz1-4x^2= 4,arcsen(2x)raiz1-4x^2

Resposta

y'=4,arcsen(2x)raiz1-4x^2

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